ID: 00026489
Монохроматический свет частотой 6{,}2\cdot 10^{14} Гц падает на поверхность фотокатода с работой выхода 2{,}39 эВ. Электроны, вылетевшие с поверхности фотокатода горизонтально в северном направлении, попадают в электрическое и магнитное поля. Электрическое поле направлено горизонтально на запад, а магнитное — вертикально вверх (см. рисунок). Индукция магнитного поля равна 10^{-3} Тл. При каких значениях напряжённости электрического поля самые быстрые электроны в момент попадания в область полей отклонялись бы на восток?
Источник: ФИПИ
Здесь сшиты две разные темы: свет выбивает электроны (фотоэффект), а дальше эти электроны летят сквозь скрещенные электрическое и магнитное поля, и нас спрашивают, какая из двух сил победит. Значит, план такой: сначала разобраться с направлениями сил, потом записать условие «побеждает электрическая», а скорость электрона взять из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта.
Шаг 1 — расставим оси, чтобы не запутаться в сторонах света. Пусть ось x смотрит на восток, ось y — на север, ось z — вертикально вверх. Тогда скорость электрона \vec{v} направлена вдоль +y (на север), индукция \vec{B} — вдоль +z (вверх), а напряжённость \vec{E} — вдоль -x (на запад). Ровно это и нарисовано на рисунке.
Шаг 2 — куда толкает электрическое поле. Электрон заряжен отрицательно, а на отрицательный заряд электрическая сила действует ПРОТИВ вектора напряжённости. Напряжённость смотрит на запад — значит, сила F_{\text{эл}}=eE тащит электрон на восток. Это как раз то направление, которое нам нужно.
Шаг 3 — куда толкает магнитное поле. Работает сила Лоренца \vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}. Для положительного заряда, летящего на север, в поле, направленном вверх, произведение \vec{v}\times\vec{B} дало бы восток. Но у электрона заряд отрицательный, поэтому сила разворачивается и смотрит на запад. Её модуль F_{\text{маг}}=evB, потому что скорость перпендикулярна индукции (горизонтальная скорость и вертикальное поле — угол 90^\circ, синус равен единице).
Шаг 4 — условие задачи на языке формул. Две силы направлены строго навстречу друг другу вдоль линии «запад — восток». Чтобы суммарная сила смотрела на восток, электрическая должна быть больше магнитной:
eE \gt evB \quad\Rightarrow\quad E \gt vB.
Заряд e сократился — приятно, ответ от него не зависит. Осталось найти скорость v самых быстрых электронов.
Шаг 5 — фотоэффект. Энергия одного фотона h\nu уходит на две вещи: на работу выхода A (вырвать электрон из металла) и на кинетическую энергию вылетевшего электрона. Это уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
h\nu = A + \frac{mv^2}{2}.
«Самые быстрые» электроны — это те, у которых на кинетическую энергию ушёл весь остаток, то есть максимально возможный.
Шаг 6 — считаем энергии. Энергия фотона:
h\nu = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 6{,}2\cdot10^{14} = 4{,}11\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.
Работа выхода дана в электронвольтах, переводим в джоули (1 эВ =1{,}6\cdot10^{-19} Дж):
A = 2{,}39\cdot 1{,}6\cdot10^{-19} = 3{,}82\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.
Кинетическая энергия:
\frac{mv^2}{2} = 4{,}11\cdot10^{-19} - 3{,}82\cdot10^{-19} = 2{,}9\cdot10^{-20}\ \text{Дж}.
Шаг 7 — скорость и ответ. Масса электрона m=9{,}1\cdot10^{-31} кг, поэтому
v = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}9\cdot10^{-20}}{9{,}1\cdot10^{-31}}} = \sqrt{6{,}4\cdot10^{10}} \approx 2{,}5\cdot10^{5}\ \text{м/с}.
Подставляем в условие:
E \gt vB = 2{,}5\cdot10^{5}\cdot 10^{-3} \approx 2{,}5\cdot10^{2}\ \text{В/м}.
Почему такая модель законна. Электрон в момент влёта движется перпендикулярно магнитному полю, значит сила Лоренца лежит в горизонтальной плоскости и строго противоположна электрической — задача сводится к сравнению двух чисел, а не к векторному сложению. Скорость берём из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта (закон сохранения энергии для одного акта поглощения фотона): электрон нерелятивистский, ведь 2{,}5\cdot10^{5} м/с — меньше тысячной доли скорости света, поэтому классическая формула mv^2/2 работает. И обрати внимание: спрашивают про момент попадания в область полей, то есть скорость ещё не успела измениться — можно смело брать её сразу после вылета из катода.