Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00026489

Здесь сшиты две разные темы: свет выбивает электроны (фотоэффект), а дальше эти электроны летят сквозь скрещенные электрическое и магнитное поля, и нас спрашивают, какая из двух сил победит. Значит, план такой: сначала разобраться с направлениями сил, потом записать условие «побеждает электрическая», а скорость электрона взять из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта.

Шаг 1 — расставим оси, чтобы не запутаться в сторонах света. Пусть ось $x$ смотрит на восток, ось $y$ — на север, ось $z$ — вертикально вверх. Тогда скорость электрона $\vec{v}$ направлена вдоль $+y$ (на север), индукция $\vec{B}$ — вдоль $+z$ (вверх), а напряжённость $\vec{E}$ — вдоль $-x$ (на запад). Ровно это и нарисовано на рисунке.

Шаг 2 — куда толкает электрическое поле. Электрон заряжен отрицательно, а на отрицательный заряд электрическая сила действует ПРОТИВ вектора напряжённости. Напряжённость смотрит на запад — значит, сила $F_{\text{эл}}=eE$ тащит электрон на восток. Это как раз то направление, которое нам нужно.

Шаг 3 — куда толкает магнитное поле. Работает сила Лоренца $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$. Для положительного заряда, летящего на север, в поле, направленном вверх, произведение $\vec{v}\times\vec{B}$ дало бы восток. Но у электрона заряд отрицательный, поэтому сила разворачивается и смотрит на запад. Её модуль $F_{\text{маг}}=evB$, потому что скорость перпендикулярна индукции (горизонтальная скорость и вертикальное поле — угол $90^\circ$, синус равен единице).

Шаг 4 — условие задачи на языке формул. Две силы направлены строго навстречу друг другу вдоль линии «запад — восток». Чтобы суммарная сила смотрела на восток, электрическая должна быть больше магнитной:

$$eE \gt evB \quad\Rightarrow\quad E \gt vB.$$

Заряд $e$ сократился — приятно, ответ от него не зависит. Осталось найти скорость $v$ самых быстрых электронов.

Шаг 5 — фотоэффект. Энергия одного фотона $h\nu$ уходит на две вещи: на работу выхода $A$ (вырвать электрон из металла) и на кинетическую энергию вылетевшего электрона. Это уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

$$h\nu = A + \frac{mv^2}{2}.$$

«Самые быстрые» электроны — это те, у которых на кинетическую энергию ушёл весь остаток, то есть максимально возможный.

Шаг 6 — считаем энергии. Энергия фотона:

$$h\nu = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 6{,}2\cdot10^{14} = 4{,}11\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$

Работа выхода дана в электронвольтах, переводим в джоули ($1$ эВ $=1{,}6\cdot10^{-19}$ Дж):

$$A = 2{,}39\cdot 1{,}6\cdot10^{-19} = 3{,}82\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$

Кинетическая энергия:

$$\frac{mv^2}{2} = 4{,}11\cdot10^{-19} - 3{,}82\cdot10^{-19} = 2{,}9\cdot10^{-20}\ \text{Дж}.$$

Шаг 7 — скорость и ответ. Масса электрона $m=9{,}1\cdot10^{-31}$ кг, поэтому

$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}9\cdot10^{-20}}{9{,}1\cdot10^{-31}}} = \sqrt{6{,}4\cdot10^{10}} \approx 2{,}5\cdot10^{5}\ \text{м/с}.$$

Подставляем в условие:

$$E \gt vB = 2{,}5\cdot10^{5}\cdot 10^{-3} \approx 2{,}5\cdot10^{2}\ \text{В/м}.$$

Почему такая модель законна. Электрон в момент влёта движется перпендикулярно магнитному полю, значит сила Лоренца лежит в горизонтальной плоскости и строго противоположна электрической — задача сводится к сравнению двух чисел, а не к векторному сложению. Скорость берём из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта (закон сохранения энергии для одного акта поглощения фотона): электрон нерелятивистский, ведь $2{,}5\cdot10^{5}$ м/с — меньше тысячной доли скорости света, поэтому классическая формула $mv^2/2$ работает. И обрати внимание: спрашивают про момент попадания в область полей, то есть скорость ещё не успела измениться — можно смело брать её сразу после вылета из катода.