ID: 00026488
Покоящийся атом излучает фотон с энергией 16,32·10^{–19} Дж в результате перехода электрона из возбуждённого состояния в основное. Атом в результате отдачи начинает двигаться поступательно в противоположном направлении с кинетической энергией 8,81·10^{–27} Дж. Найдите массу атома. Скорость атома считать малой по сравнению со скоростью света.
Источник: ФИПИ
Опишем происходящее. Атом стоял неподвижно, а потом выстрелил фотоном — и, как ружьё при выстреле, получил отдачу: поехал в противоположную сторону. Известны энергия фотона и кинетическая энергия «отъехавшего» атома. По этим двум числам надо восстановить массу атома. Ключ к задаче — то, что улетевший фотон и поехавший атом связаны законом сохранения импульса.
Почему у фотона есть импульс и чему он равен. Фотон не имеет массы, но обладает импульсом $p_{\text{ф}}=\dfrac{E_{\text{ф}}}{c}$ — эта связь энергии и импульса для света и есть та ниточка, за которую мы потянем. До излучения полный импульс системы был нулевым (атом покоился), значит, и после излучения он нулевой: импульс атома равен по модулю импульсу фотона и противоположен по направлению: $$Mv=\frac{E_{\text{ф}}}{c}.$$
Дальше связываем импульс атома с его кинетической энергией. Скорость атома по условию мала по сравнению со световой, поэтому пользуемся школьной формулой $$E_{k}=\frac{M v^{2}}{2}=\frac{\left(Mv\right)^{2}}{2M}=\frac{p^{2}}{2M}\quad\Rightarrow\quad M=\frac{p^{2}}{2E_{k}}.$$
Шаг 1 — импульс фотона (он же импульс атома по модулю): $$p=\frac{E_{\text{ф}}}{c}=\frac{16{,}32\cdot10^{-19}}{3\cdot10^{8}}=5{,}44\cdot10^{-27}\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$
Шаг 2 — масса атома: $$M=\frac{p^{2}}{2E_{k}}=\frac{\left(5{,}44\cdot10^{-27}\right)^{2}}{2\cdot 8{,}81\cdot10^{-27}}=\frac{2{,}96\cdot10^{-53}}{1{,}76\cdot10^{-26}}\approx 1{,}7\cdot10^{-27}\ \text{кг}.$$
Узнаёшь ответ? Это масса атома водорода. И энергия фотона тоже говорящая: $\dfrac{16{,}32\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=10{,}2$ эВ — ровно энергия перехода со второго уровня на первый в атоме водорода. Всё сошлось.
Полезно почувствовать масштаб отдачи. Скорость атома $v=\dfrac{p}{M}=\dfrac{5{,}44\cdot10^{-27}}{1{,}7\cdot10^{-27}}\approx 3{,}2$ м/с — атом еле ползёт, а его кинетическая энергия ($8{,}81\cdot10^{-27}$ Дж) в сотни миллионов раз меньше энергии фотона. Именно поэтому в большинстве задач отдачей атома при излучении спокойно пренебрегают.
$M=\dfrac{E_{\text{ф}}^{2}}{2c^{2}E_{k}}\approx 1{,}7\cdot10^{-27}$ кг.