ID: 00026487
Металлическая пластина облучается в вакууме светом с длиной волны, равной 200 нм. Работа выхода электронов из данного металла равна 3,7 эВ. Вылетающие из пластины фотоэлектроны попадают в однородное электрическое поле напряжённостью 260 В/м, причём вектор напряжённости $\overset{\to}{E}$ поля перпендикулярен поверхности пластины и направлен к этой поверхности. Измерения показали, что на некотором расстоянии L от пластины максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна 15,9 эВ. Определите значение L .
Источник: ФИПИ
Сначала выясним главное — что поле делает с электроном. Вектор напряжённости перпендикулярен пластине и направлен К ней. Электрон заряжен отрицательно, поэтому сила $\vec F=-e\vec E$ смотрит в противоположную сторону — ОТ пластины. Значит, поле не тормозит вылетевшие электроны, а разгоняет их. Именно поэтому на расстоянии $L$ энергия оказалась $15{,}9$ эВ — гораздо больше той, с которой электрон стартовал.
План решения. Сначала находим стартовую энергию — ту, что электрон получил от фотона сверх работы выхода (уравнение Эйнштейна для фотоэффекта). Затем смотрим, насколько энергия выросла, и переводим этот прирост в расстояние: поле однородное, сила постоянна и равна $eE$, её работа на пути $L$ равна $eEL$, а по теореме о кинетической энергии эта работа и есть прирост кинетической энергии.
Шаг 1 — энергия фотона. Длина волны $\lambda=200$ нм $=2\cdot10^{-7}$ м: $$\frac{hc}{\lambda}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{2\cdot10^{-7}}\approx 9{,}95\cdot10^{-19}\ \text{Дж}=\frac{9{,}95\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}\approx 6{,}22\ \text{эВ}.$$
Шаг 2 — начальная кинетическая энергия самых быстрых электронов: $$E_{k0}=\frac{hc}{\lambda}-A_{\text{вых}}=6{,}22-3{,}7\approx 2{,}52\ \text{эВ}.$$
Шаг 3 — сколько энергии добавило поле: $$\Delta E=E_{k}-E_{k0}=15{,}9-2{,}52\approx 13{,}4\ \text{эВ}.$$
Шаг 4 — расстояние. Из $\Delta E=eEL$ получаем $L=\dfrac{\Delta E}{eE}$. Считать удобно прямо в электронвольтах: заряд сокращается, и «вольты», делённые на «вольты на метр», дают метры: $$L=\frac{13{,}4\ \text{В}}{260\ \text{В/м}}\approx 5{,}1\cdot10^{-2}\ \text{м}.$$ Через джоули получится то же самое: $\Delta E=13{,}4\cdot 1{,}6\cdot10^{-19}\approx 2{,}14\cdot10^{-18}$ Дж, и $L=\dfrac{2{,}14\cdot10^{-18}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot 260}\approx 5{,}1\cdot10^{-2}$ м.
Проверим логику ещё раз. Если бы поле было развёрнуто в другую сторону, энергия электронов на пути только убывала бы и не могла бы вырасти до $15{,}9$ эВ — то есть условие само подсказывает, что поле ускоряющее. И порядок ответа разумен: пять сантиметров в поле $260$ В/м дают прибавку около $13$ В, то есть $13$ эВ, что мы и наблюдаем.
$L=\dfrac{E_{k}-\left(\dfrac{hc}{\lambda}-A_{\text{вых}}\right)}{eE}\approx 5{,}1\cdot10^{-2}$ м, то есть около $5{,}1$ см.