ID: 00026482
При реакции синтеза 1 2 H + 2 3 He $\to$ $_{2}^{4}\text{He}+\text{p}$ образуются ядро гелия и протон, а также выделяется энергия E = 18,3 МэВ. Какую кинетическую энергию уносит протон, если кинетическая энергия исходных частиц пренебрежимо мала по сравнению с выделившейся? Начальным импульсом исходных ядер пренебречь. Считать, что $m_{\text{ядра гелия}}$ ≈ 4 $m_{\text{протона}}$.
Источник: ФИПИ
Что происходит при реакции. Два лёгких ядра сливаются, и получаются ядро гелия и протон; при этом выделяется энергия $18{,}3$ МэВ, которая целиком достаётся продуктам в виде кинетической энергии — исходные частицы практически покоились. Продукты разлетаются в разные стороны. Вопрос: как эта энергия делится между тяжёлым гелием и лёгким протоном?
Ключ — закон сохранения импульса. До реакции суммарный импульс был равен нулю (начальным импульсом исходных ядер условие велит пренебречь), значит, и после реакции он нулевой: $$\vec p_{\text{He}}+\vec p_{p}=0\quad\Rightarrow\quad p_{\text{He}}=p_{p}=p.$$ То есть частицы разлетаются строго в противоположные стороны с ОДИНАКОВЫМИ по модулю импульсами. А вот кинетические энергии у них будут разными, потому что $$E_{k}=\frac{p^{2}}{2m}$$ — при равных импульсах энергия обратно пропорциональна массе. Лёгкому протону достаётся больше, тяжёлому гелию — меньше. Это как оттолкнуться на льду: щуплый уезжает быстрее и уносит больше энергии.
Шаг 1 — отношение энергий. Раз $m_{\text{He}}\approx 4m_{p}$, то $$\frac{E_{p}}{E_{\text{He}}}=\frac{p^{2}/(2m_{p})}{p^{2}/(2m_{\text{He}})}=\frac{m_{\text{He}}}{m_{p}}=4.$$ Значит, протон уносит вчетверо больше энергии, чем ядро гелия.
Шаг 2 — закон сохранения энергии. Вся выделившаяся энергия распределилась между двумя частицами: $$E_{p}+E_{\text{He}}=E=18{,}3\ \text{МэВ}.$$ Подставим $E_{\text{He}}=\dfrac{E_{p}}{4}$: $$E_{p}+\frac{E_{p}}{4}=E\quad\Rightarrow\quad \frac{5E_{p}}{4}=E\quad\Rightarrow\quad E_{p}=\frac{4}{5}E.$$
Шаг 3 — число: $$E_{p}=0{,}8\cdot 18{,}3=14{,}64\ \text{МэВ}.$$
Проверим себя: гелию тогда остаётся $18{,}3-14{,}64=3{,}66$ МэВ, и отношение $14{,}64:3{,}66$ действительно равно $4:1$. Общий вывод стоит запомнить: при разлёте двух тел из состояния покоя энергия делится обратно пропорционально массам, и львиная доля всегда достаётся лёгкой частице.
$E_{p}=\dfrac{m_{\text{He}}}{m_{\text{He}}+m_{p}}\,E=\dfrac{4}{5}E=14{,}64$ МэВ.