ID: 00026480
Фотокатод с работой выхода 4,42 $\cdot$ 10 – 19 Дж освещается монохроматическим светом. Вылетевшие из катода электроны попадают в однородное магнитное поле с индукцией 4 $\cdot$ 10 – 4 Тл перпендикулярно линиям индукции этого поля и движутся по окружностям. Максимальный радиус такой окружности 10 мм. Какова частота ν падающего света?
Источник: ФИПИ
Смысл опыта такой: магнитное поле здесь работает измерительным прибором. Электроны вылетают из катода с разными скоростями и закручиваются в поле по окружностям — чем быстрее электрон, тем шире круг. Значит, самый большой радиус принадлежит самому быстрому электрону. Измерив этот радиус, можно узнать максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов, а по ней — частоту света.
Почему траектория — окружность. Скорость перпендикулярна линиям индукции, поэтому сила Лоренца равна $F=evB$ и всегда перпендикулярна скорости: она не меняет модуль скорости, а только поворачивает её. Постоянная по модулю сила, перпендикулярная скорости, — это в точности центростремительная сила, поэтому по второму закону Ньютона $$evB=\frac{m_{e}v^{2}}{R}\quad\Rightarrow\quad m_{e}v=eBR,$$ то есть импульс электрона равен $p=eBR$. Красивая формула: радиус прямо пропорционален импульсу.
Шаг 1 — импульс самого быстрого электрона. Радиус $R=10$ мм $=10^{-2}$ м: $$p=eBR=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot 4\cdot10^{-4}\cdot 10^{-2}=6{,}4\cdot10^{-25}\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$
Шаг 2 — его кинетическая энергия: $$E_{k}=\frac{p^{2}}{2m_{e}}=\frac{\left(6{,}4\cdot10^{-25}\right)^{2}}{2\cdot 9{,}1\cdot10^{-31}}=\frac{4{,}10\cdot10^{-49}}{1{,}82\cdot10^{-30}}\approx 2{,}25\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$
Шаг 3 — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Энергия фотона равна работе выхода плюс кинетическая энергия электрона; обе величины уже в джоулях, складываем: $$h\nu=A_{\text{вых}}+E_{k}=4{,}42\cdot10^{-19}+2{,}25\cdot10^{-19}\approx 6{,}67\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$
Шаг 4 — частота: $$\nu=\frac{6{,}67\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}}\approx 1{,}0\cdot10^{15}\ \text{Гц}.$$
Оценим результат: длина волны такого света $\lambda=\dfrac{c}{\nu}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{10^{15}}=3\cdot10^{-7}$ м, то есть $300$ нм — ультрафиолет. Логично: работа выхода $4{,}42\cdot10^{-19}$ Дж — это около $2{,}8$ эВ, и видимого света на такой катод хватило бы едва-едва, а тут электроны ещё и разлетаются с приличной энергией.
$\nu=\dfrac{1}{h}\left(A_{\text{вых}}+\dfrac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_{e}}\right)\approx 1{,}0\cdot10^{15}\ \text{Гц}$.