ID: 00026479
Уровни энергии электрона в атоме водорода задаются формулой $E_{n} =-\dfrac{13,6}{n^{2}}$ эВ, где n = 1, 2, 3, … . При переходе атома из состояния $E_{2}$ в состояние $E_{1}$ атом испускает фотон. Попав на поверхность фотокатода, этот фотон выбивает фотоэлектрон. Частота света, соответствующая красной границе фотоэффекта для материала поверхности фотокатода, $\nu_{\text{кр}}$ = 6$\cdot$10¹⁴ Гц. Чему равен максимально возможный импульс фотоэлектрона?
Источник: ФИПИ
В задаче энергия путешествует по цепочке из трёх звеньев. Сначала атом водорода спрыгивает со второго уровня на первый и упаковывает освободившуюся энергию в фотон. Затем этот фотон долетает до фотокатода и выбивает электрон, потратив часть энергии на работу выхода. Остаток становится кинетической энергией электрона, а по ней уже находится импульс. Значит, надо пройти цепочку по звеньям.
Какие законы задействованы. Энергия фотона при переходе в атоме определяется вторым постулатом Бора: $h\nu=E_{2}-E_{1}$. Работа выхода прячется в красной границе: по определению это частота, при которой энергии фотона хватает ровно на выход электрона, то есть $A=h\nu_{\text{кр}}$ — так условие сообщает нам $A$ не напрямую, а через частоту. Дальше — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и связь импульса с кинетической энергией $E_{k}=\dfrac{p^{2}}{2m_{e}}$, применимая, пока скорость электрона много меньше световой.
Шаг 1 — энергия фотона: $$h\nu=E_{2}-E_{1}=-\frac{13{,}6}{4}+13{,}6=-3{,}4+13{,}6=10{,}2\ \text{эВ}.$$
Шаг 2 — работа выхода фотокатода: $$A=h\nu_{\text{кр}}=6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 6\cdot10^{14}\approx 3{,}98\cdot10^{-19}\ \text{Дж}=\frac{3{,}98\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}\approx 2{,}49\ \text{эВ}.$$
Шаг 3 — максимальная кинетическая энергия электрона: $$E_{k}=h\nu-A=10{,}2-2{,}49\approx 7{,}71\ \text{эВ}=7{,}71\cdot 1{,}6\cdot10^{-19}\approx 1{,}23\cdot10^{-18}\ \text{Дж}.$$
Шаг 4 — импульс: $$p=\sqrt{2m_{e}E_{k}}=\sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot10^{-31}\cdot 1{,}23\cdot10^{-18}}=\sqrt{2{,}25\cdot10^{-48}}\approx 1{,}5\cdot10^{-24}\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$
Проверим, всё ли законно. Скорость электрона $v=\dfrac{p}{m_{e}}=\dfrac{1{,}5\cdot10^{-24}}{9{,}1\cdot10^{-31}}\approx 1{,}6\cdot10^{6}$ м/с — это около половины процента скорости света, так что нерелятивистская формула для импульса применена оправданно. И ещё: слово «максимально возможный» в вопросе означает именно электрон, вылетевший без потерь энергии внутри металла, — как раз для него и записано уравнение Эйнштейна.
$p=\sqrt{2m_{e}\left(E_{2}-E_{1}-h\nu_{\text{кр}}\right)}\approx 1{,}5\cdot10^{-24}\ \text{кг}\cdot\text{м/с}$.