Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00026478

Соберём смысл условия. Один и тот же литиевый катод освещают двумя разными монохроматическими пучками. Работа выхода лития известна и, конечно, одинакова в обоих опытах. Запирающее напряжение — это «измеритель» кинетической энергии самых быстрых электронов: при нём фототок прекращается, потому что тормозящее поле отбирает у электрона всю энергию, то есть $E_{k}=eU_{\text{зап}}$.

Сразу решим важный вопрос: в какую сторону изменили длину волны. Во втором опыте запирающее напряжение выросло вдвое — значит, электроны стали энергичнее, значит, фотоны стали энергичнее. А энергия фотона $\dfrac{hc}{\lambda}$ растёт при уменьшении длины волны. Поэтому «изменить в $1{,}5$ раза» здесь означает уменьшить: $$\lambda_{2}=\frac{\lambda_{0}}{1{,}5}\quad\Rightarrow\quad \frac{hc}{\lambda_{2}}=1{,}5\cdot\frac{hc}{\lambda_{0}}.$$

Шаг 1 — два уравнения Эйнштейна. Обозначим для краткости $X=\dfrac{hc}{\lambda_{0}}$ — энергию фотона в первом опыте. Тогда $$eU_{1}=X-A,\qquad eU_{2}=1{,}5X-A,$$ причём по условию $U_{2}=2U_{1}$.

Шаг 2 — решаем систему: $$1{,}5X-A=2\left(X-A\right)\quad\Rightarrow\quad 1{,}5X-A=2X-2A\quad\Rightarrow\quad A=0{,}5X,$$ откуда $$X=2A.$$ То есть энергия фотона в первом опыте ровно вдвое больше работы выхода.

Шаг 3 — считаем. Работа выхода лития $A=2{,}39$ эВ, значит, $$X=2\cdot 2{,}39=4{,}78\ \text{эВ}=4{,}78\cdot 1{,}6\cdot10^{-19}\approx 7{,}65\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$

Шаг 4 — длина волны из $X=\dfrac{hc}{\lambda_{0}}$: $$\lambda_{0}=\frac{hc}{X}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{7{,}65\cdot10^{-19}}=\frac{1{,}989\cdot10^{-25}}{7{,}65\cdot10^{-19}}\approx 2{,}6\cdot10^{-7}\ \text{м}.$$

Проверим себя. Красная граница лития соответствует энергии фотона $2{,}39$ эВ, то есть длине волны около $520$ нм. Наш ответ $260$ нм — ровно вдвое короче, и это согласуется с найденным соотношением $X=2A$. Свет с длиной волны $260$ нм — ультрафиолет, для которого фотоэффект на литии идёт уверенно.