ID: 00026475
Для того чтобы совершить воздушный полёт, отважный мальчик решил использовать воздушные шары объёмом 10 л, наполненные гелием. Сколько воздушных шаров потребуется, чтобы поднять в воздух мальчика массой 40 кг при нормальном атмосферном давлении? Температура окружающего воздуха 28 °C. Массой оболочек шаров и их упругостью, а также силой Архимеда, действующей на мальчика, пренебречь.
Источник: ФИПИ
Прикинем, что тянет мальчика вверх. Каждый шар вытесняет десять литров воздуха, и по закону Архимеда воздух выталкивает его с силой, равной весу этого вытесненного воздуха. Но шар не пустой — внутри гелий, у которого тоже есть вес, и его надо вычесть. Разница и есть «полезная грузоподъёмность» одного шара. Останется поделить вес мальчика на неё.
Почему плотности считаем именно так. Оболочки невесомы и не упруги, значит, давление гелия внутри равно атмосферному снаружи, а температура у гелия и у воздуха одинакова. Тогда плотность любого из этих газов можно найти из уравнения Клапейрона — Менделеева: из $pV=\dfrac{m}{M}RT$ следует $$\rho=\frac{m}{V}=\frac{pM}{RT}.$$ Различаться будут только молярные массы: у воздуха $M_{\text{в}}=0{,}029$ кг/моль, у гелия $M_{\text{He}}=0{,}004$ кг/моль.
Шаг 1 — плотности. Температура $T=28+273=301$ К, давление $p=10^{5}$ Па. Сначала посчитаем общий знаменатель: $RT=8{,}31\cdot 301\approx 2501$. Тогда $$\rho_{\text{в}}=\frac{10^{5}\cdot 0{,}029}{2501}\approx 1{,}16\ \text{кг/м}^{3},\qquad \rho_{\text{He}}=\frac{10^{5}\cdot 0{,}004}{2501}\approx 0{,}16\ \text{кг/м}^{3}.$$
Шаг 2 — грузоподъёмность одного шара. Объём $V=10$ л $=10^{-2}$ м³: $$\Delta m=(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{He}})V=(1{,}16-0{,}16)\cdot 10^{-2}=1{,}0\cdot 10^{-2}\ \text{кг}.$$ То есть один шарик способен «поднять» всего $10$ граммов — примерно как две скрепки.
Шаг 3 — число шаров. Чтобы поднять мальчика массой $40$ кг, нужно $$N=\frac{m}{\Delta m}=\frac{40}{0{,}01}=4000.$$
И всё сходится, хоть и печально для мальчика: четыре тысячи шаров — это гора объёмом $40$ м³, размером с небольшую комнату, и никакой рукой её не удержать. Заметь, кстати, что вычитание гелия важно: если бы про него забыли, грузоподъёмность вышла бы $11{,}6$ г вместо $10$ г и ответ занизился бы примерно на $15\ \%$.
$N=\dfrac{m}{\left(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{He}}\right)V}\approx 4\cdot10^{3}$ — потребуется около $4000$ шаров.