ID: 00026470
В горизонтально расположенной трубке постоянного сечения, запаянной с одного конца, помещён столбик ртути длиной 7,5 см, который отделяет воздух в трубке от атмосферы. Трубку расположили вертикально, запаянным концом вниз. На сколько градусов следует нагреть воздух в трубке, чтобы объём, занимаемый воздухом, стал прежним? Температура воздуха в лаборатории 300 К, а атмосферное давление составляет 750 мм рт. ст.
Источник: ФИПИ
Представь трубку в руках. Она запаяна с одного конца, и у этого конца заперта порция воздуха; отделяет её от атмосферы столбик ртути длиной $7{,}5$ см. Пока трубка лежит горизонтально, ртуть стоит сбоку и на воздух своим весом не давит. Стоит поставить трубку вертикально запаянным концом вниз — и ртуть оказывается прямо над запертым воздухом, придавливая его сверху. Воздух сожмётся. Чтобы вернуть ему прежний объём, его надо нагреть — вот на сколько градусов, и спрашивается.
На чём строится решение. Давление запертого воздуха находим из равновесия столбика ртути: он покоится, значит, силы, действующие на него сверху и снизу, уравновешены. В горизонтальном положении вес ртути направлен поперёк трубки и на баланс вдоль неё не влияет, поэтому воздух держит только атмосферное давление: $p_{1}=H=750$ мм рт. ст. В вертикальном положении (запаянный конец внизу) сверху на ртуть давит атмосфера, а сама ртуть добавляет своё гидростатическое давление, и всё это ложится на воздух: $p_{2}=H+h=750+75=825$ мм рт. ст. Здесь очень удобно мерить давление прямо в миллиметрах ртутного столба: столбик длиной $7{,}5$ см $=75$ мм и даёт ровно $75$ мм рт. ст.
Дальше — газовый закон. Объём воздуха по условию должен остаться прежним, масса его не меняется (трубка запаяна с одного конца, ртуть работает пробкой), поэтому процесс изохорный, и работает закон Шарля: $$\frac{p_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{T_{2}}.$$
Шаг 1 — конечная температура: $$T_{2}=T_{1}\frac{p_{2}}{p_{1}}=300\cdot\frac{825}{750}=300\cdot 1{,}1=330\ \text{К}.$$
Шаг 2 — насколько нагреть: $$\Delta T=T_{2}-T_{1}=330-300=30\ \text{К}.$$ Поскольку речь об изменении температуры, ответ одинаков в кельвинах и в градусах Цельсия: нагреть надо на $30$ градусов.
И всё сходится: ртуть добавила к давлению одну десятую часть ($75$ из $750$), и температуру пришлось поднять тоже на одну десятую — при постоянном объёме давление и абсолютная температура растут ноздря в ноздрю. Заметь, что переводить миллиметры ртутного столба в паскали не понадобилось: в закон Шарля входит только отношение давлений.
$\Delta T=T_{1}\left(\dfrac{p_{2}}{p_{1}}-1\right)=30$ К — воздух нужно нагреть на $30$ градусов (до $330$ К).