МКТ — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026463

Что дано и что мешает. В сосуде смесь двух газов: водорода и гелия. Известны общая масса ($2$ г), объём, давление — а спрашивают температуру. Если бы газ был один, хватило бы уравнения состояния в одну строчку. Загвоздка в том, что давление создают молекулы, а не граммы: одинаковые массы водорода и гелия дают разное число молекул, потому что молярные массы у них разные. Поэтому сначала надо развесить смесь по компонентам, а потом посчитать полное количество вещества.

Опора решения — закон Дальтона: каждый газ смеси ведёт себя так, будто других нет, и общее давление равно сумме парциальных. Из него следует, что для смеси идеальных газов справедливо уравнение Клапейрона — Менделеева с суммарным количеством вещества: $pV=\nu RT$, где $\nu=\nu_{1}+\nu_{2}$. Молярные массы: у водорода (молекула $\text{H}_{2}$) $M_{1}=2\cdot10^{-3}$ кг/моль, у гелия (газ одноатомный) $M_{2}=4\cdot10^{-3}$ кг/моль.

Шаг 1 — массы компонентов. Пусть масса гелия $m_{2}$, тогда масса водорода $m_{1}=1{,}5m_{2}$, а вместе они дают $2$ г: $$1{,}5m_{2}+m_{2}=2\ \text{г}\quad\Rightarrow\quad 2{,}5m_{2}=2\ \text{г}\quad\Rightarrow\quad m_{2}=0{,}8\ \text{г},\qquad m_{1}=1{,}2\ \text{г}.$$

Шаг 2 — количество вещества каждого газа: $$\nu_{1}=\frac{m_{1}}{M_{1}}=\frac{1{,}2}{2}=0{,}6\ \text{моль},\qquad \nu_{2}=\frac{m_{2}}{M_{2}}=\frac{0{,}8}{4}=0{,}2\ \text{моль}.$$ Здесь удобно считать массы в граммах, а молярные массы — в граммах на моль: единицы сокращаются. Суммарно $$\nu=0{,}6+0{,}2=0{,}8\ \text{моль}.$$ Обрати внимание: водорода по массе всего в полтора раза больше, а молей — втрое, потому что молекула водорода вдвое легче атома гелия.

Шаг 3 — температура. Переводим $V=10$ л $=10^{-2}$ м³ и $p=200$ кПа $=2\cdot10^{5}$ Па: $$T=\frac{pV}{\nu R}=\frac{2\cdot10^{5}\cdot 10^{-2}}{0{,}8\cdot 8{,}31}=\frac{2000}{6{,}648}\approx 301\ \text{К}.$$

И всё сходится: $301$ К — это примерно $28\ ^\circ$С, обычная комнатная (даже чуть тёплая) температура, а не что-то экзотическое. Если бы кто-то поленился и посчитал смесь как чистый гелий ($\nu=0{,}5$ моль), температура получилась бы около $480$ К — сразу видно, что пренебрегать разницей молярных масс нельзя.