Задание 23 ЕГЭ по физике: Сосуд объёмом 10 л содержит смесь водорода и гелия общей массой…

Что дано и что мешает. В сосуде смесь двух газов: водорода и гелия. Известны общая масса (2 г), объём, давление — а спрашивают температуру. Если бы газ был один, хватило бы уравнения состояния в одну строчку. Загвоздка в том, что давление создают молекулы, а не граммы: одинаковые массы водорода и гелия дают разное число молекул, потому что молярные массы у них разные. Поэтому сначала надо развесить смесь по компонентам, а потом посчитать полное количество вещества.

Опора решения — закон Дальтона: каждый газ смеси ведёт себя так, будто других нет, и общее давление равно сумме парциальных. Из него следует, что для смеси идеальных газов справедливо уравнение Клапейрона — Менделеева с суммарным количеством вещества: pV=\nu RT, где \nu=\nu_{1}+\nu_{2}. Молярные массы: у водорода (молекула \text{H}_{2}) M_{1}=2\cdot10^{-3} кг/моль, у гелия (газ одноатомный) M_{2}=4\cdot10^{-3} кг/моль.

Шаг 1 — массы компонентов. Пусть масса гелия m_{2}, тогда масса водорода m_{1}=1{,}5m_{2}, а вместе они дают 2 г: 1{,}5m_{2}+m_{2}=2\ \text{г}\quad\Rightarrow\quad 2{,}5m_{2}=2\ \text{г}\quad\Rightarrow\quad m_{2}=0{,}8\ \text{г},\qquad m_{1}=1{,}2\ \text{г}.

Шаг 2 — количество вещества каждого газа: \nu_{1}=\frac{m_{1}}{M_{1}}=\frac{1{,}2}{2}=0{,}6\ \text{моль},\qquad \nu_{2}=\frac{m_{2}}{M_{2}}=\frac{0{,}8}{4}=0{,}2\ \text{моль}. Здесь удобно считать массы в граммах, а молярные массы — в граммах на моль: единицы сокращаются. Суммарно \nu=0{,}6+0{,}2=0{,}8\ \text{моль}. Обрати внимание: водорода по массе всего в полтора раза больше, а молей — втрое, потому что молекула водорода вдвое легче атома гелия.

Шаг 3 — температура. Переводим V=10 л =10^{-2} м³ и p=200 кПа =2\cdot10^{5} Па: T=\frac{pV}{\nu R}=\frac{2\cdot10^{5}\cdot 10^{-2}}{0{,}8\cdot 8{,}31}=\frac{2000}{6{,}648}\approx 301\ \text{К}.

И всё сходится: 301 К — это примерно 28\ ^\circС, обычная комнатная (даже чуть тёплая) температура, а не что-то экзотическое. Если бы кто-то поленился и посчитал смесь как чистый гелий (\nu=0{,}5 моль), температура получилась бы около 480 К — сразу видно, что пренебрегать разницей молярных масс нельзя.