Задание 23 ЕГЭ по физике: Пузырёк воздуха, имеющий у дна озера объём V индекс 1 равно 2…

Задача перевёрнутая: обычно по глубине ищут объём, а тут наоборот — по тому, как раздулся пузырёк, надо восстановить глубину озера. Логика простая: чем глубже был пузырёк, тем сильнее его сжимала вода и тем меньше он был; зная, во сколько раз он вырос при всплытии до отметки 1 м, мы узнаем, во сколько раз упало давление, а по давлению — глубину.

Чем пользуемся. Порция воздуха в пузырьке неизменна: испарение воды внутрь условие велит не учитывать, температуру считать постоянной. Постоянные масса газа и температура — это как раз условия закона Бойля — Мариотта: p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}. Давление воздуха в пузырьке равно давлению окружающей воды (силы поверхностного натяжения не учитываем), а оно на глубине x равно p=p_{0}+\rho gx — сумме атмосферного давления и давления столба воды над пузырьком.

Шаг 1 — давление на глубине h=1 м. Берём p_{0}=10^{5} Па, \rho=1000 кг/м³, g=10 м/с²: p_{2}=p_{0}+\rho gh=10^{5}+1000\cdot 10\cdot 1=1{,}1\cdot10^{5}\ \text{Па}.

Шаг 2 — давление у дна. Из закона Бойля — Мариотта p_{1}=p_{2}\frac{V_{2}}{V_{1}}=1{,}1\cdot10^{5}\cdot\frac{3}{2}=1{,}65\cdot10^{5}\ \text{Па}. Объёмы можно не переводить в кубические метры: в формулу входит только их отношение 3:2.

Шаг 3 — глубина озера. У дна давление складывается из атмосферного и гидростатического: p_{1}=p_{0}+\rho gH, откуда \rho gH=p_{1}-p_{0}=1{,}65\cdot10^{5}-10^{5}=0{,}65\cdot10^{5}\ \text{Па}, H=\frac{0{,}65\cdot10^{5}}{1000\cdot 10}=\frac{65\,000}{10\,000}=6{,}5\ \text{м}.

Сверим с прикидкой. Столб воды высотой 10 м даёт примерно одну атмосферу, а у нас гидростатическая добавка получилась 0{,}65 атмосферы — значит, глубина около 6{,}5 м. Ответ согласуется и с «физикой сюжета»: объём вырос всего в полтора раза, а не в разы, — глубина озера скромная, обычное небольшое озеро.