МКТ — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026462

Задача перевёрнутая: обычно по глубине ищут объём, а тут наоборот — по тому, как раздулся пузырёк, надо восстановить глубину озера. Логика простая: чем глубже был пузырёк, тем сильнее его сжимала вода и тем меньше он был; зная, во сколько раз он вырос при всплытии до отметки $1$ м, мы узнаем, во сколько раз упало давление, а по давлению — глубину.

Чем пользуемся. Порция воздуха в пузырьке неизменна: испарение воды внутрь условие велит не учитывать, температуру считать постоянной. Постоянные масса газа и температура — это как раз условия закона Бойля — Мариотта: $p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}$. Давление воздуха в пузырьке равно давлению окружающей воды (силы поверхностного натяжения не учитываем), а оно на глубине $x$ равно $p=p_{0}+\rho gx$ — сумме атмосферного давления и давления столба воды над пузырьком.

Шаг 1 — давление на глубине $h=1$ м. Берём $p_{0}=10^{5}$ Па, $\rho=1000$ кг/м³, $g=10$ м/с²: $$p_{2}=p_{0}+\rho gh=10^{5}+1000\cdot 10\cdot 1=1{,}1\cdot10^{5}\ \text{Па}.$$

Шаг 2 — давление у дна. Из закона Бойля — Мариотта $$p_{1}=p_{2}\frac{V_{2}}{V_{1}}=1{,}1\cdot10^{5}\cdot\frac{3}{2}=1{,}65\cdot10^{5}\ \text{Па}.$$ Объёмы можно не переводить в кубические метры: в формулу входит только их отношение $3:2$.

Шаг 3 — глубина озера. У дна давление складывается из атмосферного и гидростатического: $p_{1}=p_{0}+\rho gH$, откуда $$\rho gH=p_{1}-p_{0}=1{,}65\cdot10^{5}-10^{5}=0{,}65\cdot10^{5}\ \text{Па},$$ $$H=\frac{0{,}65\cdot10^{5}}{1000\cdot 10}=\frac{65\,000}{10\,000}=6{,}5\ \text{м}.$$

Сверим с прикидкой. Столб воды высотой $10$ м даёт примерно одну атмосферу, а у нас гидростатическая добавка получилась $0{,}65$ атмосферы — значит, глубина около $6{,}5$ м. Ответ согласуется и с «физикой сюжета»: объём вырос всего в полтора раза, а не в разы, — глубина озера скромная, обычное небольшое озеро.