ID: 00026459
В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения S = 5 см², под подвижным поршнем массой М = 1 кг с лежащим на нём грузом массой m = 0,5 кг находится воздух при комнатной температуре. Первоначально поршень находился на высоте h _{1} = 13 см от дна сосуда. На сколько изменится эта высота, если груз снять с поршня? Воздух считать идеальным газом, а его температуру – неизменной. Атмосферное давление равно 10⁵ Па. Трение между стенками и поршнем не учитывать.
Источник: ФИПИ
Разберёмся в устройстве. В вертикальном сосуде под поршнем заперт воздух. Поршень давит на газ своим весом, да ещё сверху лежит груз, да ещё сверху жмёт атмосфера. Уберём груз — давление на газ уменьшится, и запертый воздух, расширяясь, приподнимет поршень. Нужно найти, на сколько.
Как искать давление газа. Поршень покоится, значит, сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Сверху вниз: сила тяжести поршня Mg, сила тяжести груза mg (груз давит на поршень своим весом) и сила атмосферного давления p_{0}S. Снизу вверх — сила давления запертого газа pS. Трения нет, поэтому больше ничего не мешает. Отсюда pS=p_{0}S+(M+m)g\quad\Rightarrow\quad p=p_{0}+\frac{(M+m)g}{S}. Второй закон, который нам нужен, — закон Бойля — Мариотта: масса запертого воздуха не меняется, температура по условию постоянна, поэтому p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}. А объём газа под поршнем — это просто V=Sh, где h — высота столба воздуха. Площадь одинакова в обоих состояниях, поэтому она сократится и переводить квадратные сантиметры в квадратные метры для объёмов не понадобится (а вот при расчёте давления перевести придётся).
Шаг 1 — давление с грузом. Площадь S=5 см² =5\cdot10^{-4} м², суммарная масса M+m=1{,}5 кг: p_{1}=10^{5}+\frac{1{,}5\cdot 10}{5\cdot10^{-4}}=10^{5}+\frac{15}{5\cdot10^{-4}}=10^{5}+3\cdot10^{4}=1{,}3\cdot10^{5}\ \text{Па}.
Шаг 2 — давление без груза. Остался только поршень массой M=1 кг: p_{2}=10^{5}+\frac{1\cdot 10}{5\cdot10^{-4}}=10^{5}+2\cdot10^{4}=1{,}2\cdot10^{5}\ \text{Па}.
Шаг 3 — новая высота. Подставляем V=Sh в закон Бойля — Мариотта: p_{1}Sh_{1}=p_{2}Sh_{2}, площадь сокращается, и h_{2}=h_{1}\frac{p_{1}}{p_{2}}=13\cdot\frac{1{,}3\cdot10^{5}}{1{,}2\cdot10^{5}}=13\cdot\frac{13}{12}\approx 14{,}1\ \text{см}.
Шаг 4 — изменение высоты: \Delta h=h_{2}-h_{1}\approx 14{,}1-13=1{,}1\ \text{см}. Поршень поднялся — это логично: убрали груз, давление упало, газ расширился.
Проверим порядок величины. Груз массой полкило на площадке в 5 см² создаёт добавку давления 10^{4} Па — это лишь около десятой доли атмосферы. Значит, и относительное изменение объёма должно быть порядка \dfrac{10^{4}}{1{,}2\cdot10^{5}}\approx 8\ \% — как раз наш 1{,}1 см от 13 см. Всё сходится.
\Delta h=h_{1}\left(\dfrac{p_{1}}{p_{2}}-1\right)\approx 1{,}1 см — высота поршня увеличится примерно на 1{,}1 см (с 13 см до \approx14{,}1 см).