ID: 00026459
В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения S = 5 см², под подвижным поршнем массой М = 1 кг с лежащим на нём грузом массой m = 0,5 кг находится воздух при комнатной температуре. Первоначально поршень находился на высоте $h_{1}$ = 13 см от дна сосуда. На сколько изменится эта высота, если груз снять с поршня? Воздух считать идеальным газом, а его температуру – неизменной. Атмосферное давление равно 10⁵ Па. Трение между стенками и поршнем не учитывать.
Источник: ФИПИ
Разберёмся в устройстве. В вертикальном сосуде под поршнем заперт воздух. Поршень давит на газ своим весом, да ещё сверху лежит груз, да ещё сверху жмёт атмосфера. Уберём груз — давление на газ уменьшится, и запертый воздух, расширяясь, приподнимет поршень. Нужно найти, на сколько.
Как искать давление газа. Поршень покоится, значит, сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Сверху вниз: сила тяжести поршня $Mg$, сила тяжести груза $mg$ (груз давит на поршень своим весом) и сила атмосферного давления $p_{0}S$. Снизу вверх — сила давления запертого газа $pS$. Трения нет, поэтому больше ничего не мешает. Отсюда $$pS=p_{0}S+(M+m)g\quad\Rightarrow\quad p=p_{0}+\frac{(M+m)g}{S}.$$ Второй закон, который нам нужен, — закон Бойля — Мариотта: масса запертого воздуха не меняется, температура по условию постоянна, поэтому $p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}$. А объём газа под поршнем — это просто $V=Sh$, где $h$ — высота столба воздуха. Площадь одинакова в обоих состояниях, поэтому она сократится и переводить квадратные сантиметры в квадратные метры для объёмов не понадобится (а вот при расчёте давления перевести придётся).
Шаг 1 — давление с грузом. Площадь $S=5$ см² $=5\cdot10^{-4}$ м², суммарная масса $M+m=1{,}5$ кг: $$p_{1}=10^{5}+\frac{1{,}5\cdot 10}{5\cdot10^{-4}}=10^{5}+\frac{15}{5\cdot10^{-4}}=10^{5}+3\cdot10^{4}=1{,}3\cdot10^{5}\ \text{Па}.$$
Шаг 2 — давление без груза. Остался только поршень массой $M=1$ кг: $$p_{2}=10^{5}+\frac{1\cdot 10}{5\cdot10^{-4}}=10^{5}+2\cdot10^{4}=1{,}2\cdot10^{5}\ \text{Па}.$$
Шаг 3 — новая высота. Подставляем $V=Sh$ в закон Бойля — Мариотта: $p_{1}Sh_{1}=p_{2}Sh_{2}$, площадь сокращается, и $$h_{2}=h_{1}\frac{p_{1}}{p_{2}}=13\cdot\frac{1{,}3\cdot10^{5}}{1{,}2\cdot10^{5}}=13\cdot\frac{13}{12}\approx 14{,}1\ \text{см}.$$
Шаг 4 — изменение высоты: $$\Delta h=h_{2}-h_{1}\approx 14{,}1-13=1{,}1\ \text{см}.$$ Поршень поднялся — это логично: убрали груз, давление упало, газ расширился.
Проверим порядок величины. Груз массой полкило на площадке в $5$ см² создаёт добавку давления $10^{4}$ Па — это лишь около десятой доли атмосферы. Значит, и относительное изменение объёма должно быть порядка $\dfrac{10^{4}}{1{,}2\cdot10^{5}}\approx 8\ \%$ — как раз наш $1{,}1$ см от $13$ см. Всё сходится.
$\Delta h=h_{1}\left(\dfrac{p_{1}}{p_{2}}-1\right)\approx 1{,}1$ см — высота поршня увеличится примерно на $1{,}1$ см (с $13$ см до $\approx14{,}1$ см).