ID: 00026458
Значения энергии электрона в атоме водорода задаются формулой: $E_{n}=-\dfrac{13,6\text{эВ}}{n^{2}}$ , n = 1, 2, 3, ... . При переходах с верхних уровней энергии на нижние атом излучает фотон. Переходы с верхних уровней на уровень c n = 1 образуют серию Лаймана, на уровень c n = 2 – серию Бальмера и т. д. Найдите отношение γ максимальной длины волны фотона в серии Бальмера к максимальной длине волны фотона в серии Лаймана.
Источник: ФИПИ
Начнём с перевода вопроса на язык энергий. Длина волны и энергия фотона связаны обратно: $E=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}$, значит, чем длиннее волна, тем меньше энергия фотона. Поэтому «максимальная длина волны в серии» — это то же самое, что «минимальная энергия фотона в серии», то есть самый короткий прыжок электрона между уровнями внутри этой серии.
Как устроены уровни и серии. Электрон в атоме водорода сидит на одной из ступенек с энергией $E_{n}=-\dfrac{13{,}6}{n^{2}}$ эВ. При переходе сверху вниз атом излучает фотон, энергия которого равна разности энергий уровней (второй постулат Бора): $h\nu=E_{\text{верх}}-E_{\text{низ}}$. Серия Лаймана — все переходы, заканчивающиеся на $n=1$; серия Бальмера — все, заканчивающиеся на $n=2$. Самый короткий прыжок в каждой серии — с ближайшей верхней ступеньки: в Лаймане это $2\to1$, в Бальмере $3\to2$.
Шаг 1 — энергии нужных уровней. Считаем по формуле: $$E_{1}=-13{,}6\ \text{эВ},\qquad E_{2}=-\frac{13{,}6}{4}=-3{,}4\ \text{эВ},\qquad E_{3}=-\frac{13{,}6}{9}\approx -1{,}51\ \text{эВ}.$$
Шаг 2 — фотон с максимальной длиной волны в серии Лаймана (переход $2\to1$): $$E_{\text{Л}}=E_{2}-E_{1}=-3{,}4-(-13{,}6)=10{,}2\ \text{эВ}.$$
Шаг 3 — фотон с максимальной длиной волны в серии Бальмера (переход $3\to2$): $$E_{\text{Б}}=E_{3}-E_{2}=-1{,}51-(-3{,}4)\approx 1{,}89\ \text{эВ}.$$
Шаг 4 — отношение длин волн. Так как $\lambda=\dfrac{hc}{E}$, длины волн относятся обратно энергиям: $$\gamma=\frac{\lambda_{\max}^{\text{Б}}}{\lambda_{\max}^{\text{Л}}}=\frac{hc/E_{\text{Б}}}{hc/E_{\text{Л}}}=\frac{E_{\text{Л}}}{E_{\text{Б}}}=\frac{10{,}2}{1{,}89}\approx 5{,}4.$$ Постоянные $h$ и $c$ сократились, поэтому переводить электронвольты в джоули не нужно. Тот же результат можно получить в дробях точно: $\dfrac{13{,}6\cdot\frac{3}{4}}{13{,}6\cdot\frac{5}{36}}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{36}{5}=\dfrac{27}{5}=5{,}4$.
Прикинем, что это значит. Самая длинноволновая линия Лаймана: $\lambda=\dfrac{hc}{E}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{10{,}2\cdot 1{,}6\cdot10^{-19}}\approx 1{,}2\cdot10^{-7}$ м — это $122$ нм, жёсткий ультрафиолет. Умножив на $5{,}4$, получаем около $656$ нм — знаменитая красная линия водорода, которую видно в спектре обычной газоразрядной трубки. Ответ сходится с тем, что наблюдают в лаборатории.
$\gamma=\dfrac{\lambda_{\max}^{\text{Б}}}{\lambda_{\max}^{\text{Л}}}=\dfrac{E_{2}-E_{1}}{E_{3}-E_{2}}=\dfrac{10{,}2}{1{,}89}=5{,}4$.