ID: 00026458
Значения энергии электрона в атоме водорода задаются формулой: E_{n}=-\dfrac{13,6\text{эВ}}{n^{2}} , n = 1, 2, 3, ... . При переходах с верхних уровней энергии на нижние атом излучает фотон. Переходы с верхних уровней на уровень c n = 1 образуют серию Лаймана, на уровень c n = 2 – серию Бальмера и т. д. Найдите отношение γ максимальной длины волны фотона в серии Бальмера к максимальной длине волны фотона в серии Лаймана.
Источник: ФИПИ
Начнём с перевода вопроса на язык энергий. Длина волны и энергия фотона связаны обратно: E=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}, значит, чем длиннее волна, тем меньше энергия фотона. Поэтому «максимальная длина волны в серии» — это то же самое, что «минимальная энергия фотона в серии», то есть самый короткий прыжок электрона между уровнями внутри этой серии.
Как устроены уровни и серии. Электрон в атоме водорода сидит на одной из ступенек с энергией E_{n}=-\dfrac{13{,}6}{n^{2}} эВ. При переходе сверху вниз атом излучает фотон, энергия которого равна разности энергий уровней (второй постулат Бора): h\nu=E_{\text{верх}}-E_{\text{низ}}. Серия Лаймана — все переходы, заканчивающиеся на n=1; серия Бальмера — все, заканчивающиеся на n=2. Самый короткий прыжок в каждой серии — с ближайшей верхней ступеньки: в Лаймане это 2\to1, в Бальмере 3\to2.
Шаг 1 — энергии нужных уровней. Считаем по формуле: E_{1}=-13{,}6\ \text{эВ},\qquad E_{2}=-\frac{13{,}6}{4}=-3{,}4\ \text{эВ},\qquad E_{3}=-\frac{13{,}6}{9}\approx -1{,}51\ \text{эВ}.
Шаг 2 — фотон с максимальной длиной волны в серии Лаймана (переход 2\to1): E_{\text{Л}}=E_{2}-E_{1}=-3{,}4-(-13{,}6)=10{,}2\ \text{эВ}.
Шаг 3 — фотон с максимальной длиной волны в серии Бальмера (переход 3\to2): E_{\text{Б}}=E_{3}-E_{2}=-1{,}51-(-3{,}4)\approx 1{,}89\ \text{эВ}.
Шаг 4 — отношение длин волн. Так как \lambda=\dfrac{hc}{E}, длины волн относятся обратно энергиям: \gamma=\frac{\lambda_{\max}^{\text{Б}}}{\lambda_{\max}^{\text{Л}}}=\frac{hc/E_{\text{Б}}}{hc/E_{\text{Л}}}=\frac{E_{\text{Л}}}{E_{\text{Б}}}=\frac{10{,}2}{1{,}89}\approx 5{,}4. Постоянные h и c сократились, поэтому переводить электронвольты в джоули не нужно. Тот же результат можно получить в дробях точно: \dfrac{13{,}6\cdot\frac{3}{4}}{13{,}6\cdot\frac{5}{36}}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{36}{5}=\dfrac{27}{5}=5{,}4.
Прикинем, что это значит. Самая длинноволновая линия Лаймана: \lambda=\dfrac{hc}{E}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{10{,}2\cdot 1{,}6\cdot10^{-19}}\approx 1{,}2\cdot10^{-7} м — это 122 нм, жёсткий ультрафиолет. Умножив на 5{,}4, получаем около 656 нм — знаменитая красная линия водорода, которую видно в спектре обычной газоразрядной трубки. Ответ сходится с тем, что наблюдают в лаборатории.
\gamma=\dfrac{\lambda_{\max}^{\text{Б}}}{\lambda_{\max}^{\text{Л}}}=\dfrac{E_{2}-E_{1}}{E_{3}-E_{2}}=\dfrac{10{,}2}{1{,}89}=5{,}4.