ID: 00026456
Со дна озера, имеющего глубину $H=20$ м, медленно поднимается пузырёк воздуха. У дна озера пузырёк имел объём $V_{1} =1$ мм³. Определите объём пузырька $V_{2}$ на расстоянии h = 1 м от поверхности воды. Давление воздуха на уровне поверхности воды равно нормальному атмосферному давлению. Силы поверхностного натяжения не учитывать, температуры воды и воздуха в пузырьке считать постоянными.
Источник: ФИПИ
Проследим за пузырьком. Он всплывает со дна двадцатиметрового озера. Внизу на него давит и атмосфера, и весь двадцатиметровый столб воды — там тесно, и пузырёк маленький. По мере подъёма водяного столба над ним остаётся всё меньше, давление падает, и пузырёк раздувается. Нужно найти его объём, когда до поверхности останется $1$ м.
Что позволяет считать. Воздух внутри пузырька — постоянная порция газа: он ниоткуда не приходит и никуда не уходит, испарение воды внутрь не учитываем. Температуру условие велит считать постоянной, и это разумно: пузырёк поднимается медленно, успевая принимать температуру окружающей воды, а вода в озере по глубине прогрета примерно одинаково. Постоянные масса и температура — это условие применимости закона Бойля — Мариотта: $p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}$. Давление воздуха в пузырьке равно давлению окружающей воды на этой глубине (силы поверхностного натяжения не учитываем, тонкая плёнка сама по себе давления не добавляет), а давление в покоящейся жидкости складывается из атмосферного и гидростатического: $p=p_{0}+\rho g x$, где $x$ — глубина.
Шаг 1 — давление у дна. Глубина $H=20$ м, плотность воды $\rho=1000$ кг/м³, $p_{0}=10^{5}$ Па: $$p_{1}=p_{0}+\rho gH=10^{5}+1000\cdot 10\cdot 20=10^{5}+2\cdot10^{5}=3\cdot10^{5}\ \text{Па}.$$ У дна давление втрое больше атмосферного — каждые $10$ м воды добавляют примерно одну атмосферу.
Шаг 2 — давление на нужной высоте. Здесь важно не запутаться: $h=1$ м — это расстояние от поверхности, то есть глубина погружения равна $1$ м. $$p_{2}=p_{0}+\rho gh=10^{5}+1000\cdot 10\cdot 1=1{,}1\cdot10^{5}\ \text{Па}.$$
Шаг 3 — новый объём. Из закона Бойля — Мариотта $$V_{2}=V_{1}\frac{p_{1}}{p_{2}}=1\cdot\frac{3\cdot10^{5}}{1{,}1\cdot10^{5}}=\frac{3}{1{,}1}\approx 2{,}7\ \text{мм}^{3}.$$ Переводить кубические миллиметры в кубические метры не понадобилось: в формулу входит только отношение давлений, а объём остаётся в тех же единицах, в каких дан.
Проверка на разумность: давление упало почти в три раза, объём во столько же раз и вырос. И заметь — пузырёк раздувается неравномерно: первые десять метров подъёма (с $20$ до $10$ м) увеличат объём всего в полтора раза, а последний метр перед поверхностью — ещё на десятую часть. Самый бурный рост происходит у самой поверхности, где доля гидростатического давления мала.
$V_{2}=V_{1}\dfrac{p_{0}+\rho gH}{p_{0}+\rho gh}\approx 2{,}7$ мм³.