ID: 00026452
Значения энергии электрона в атоме водорода задаются формулой $E_{n} =-\dfrac{13,6\text{эВ}}{n^{2}}$, где n = 1, 2, 3, ... . При переходах с верхних уровней энергии на нижние атом излучает фотон. Переходы с верхних уровней на уровень с $n=1$ образуют серию Лаймана; на уровень с $n=2$ – серию Бальмера; на уровень с $n=3$ – серию Пашена и т.д. Найдите отношение β минимальной частоты фотона в серии Лаймана к максимальной частоте фотона в серии Бальмера.
Источник: ФИПИ
Смысл задачи такой. Электрон в атоме водорода может находиться только на «ступеньках» — уровнях с энергиями $E_{n}=-\dfrac{13{,}6}{n^{2}}$ эВ. Спрыгивая со ступеньки повыше на ступеньку пониже, атом излучает фотон, энергия которого равна разности этих уровней. Все переходы, заканчивающиеся на первой ступеньке, объединяют в серию Лаймана, на второй — в серию Бальмера. Нам нужно взять самый «слабый» фотон Лаймана и самый «сильный» фотон Бальмера и поделить их частоты.
Какие законы работают. Второй постулат Бора: при переходе с уровня $n$ на уровень $k$ излучается фотон с энергией $h\nu=E_{n}-E_{k}$. Отсюда сразу видно: чем больше разность энергий уровней, тем больше частота. Значит, искать минимум и максимум частоты — это то же самое, что искать минимальную и максимальную разность энергий в своей серии. Считать удобно в электронвольтах, а переводить в джоули даже не придётся: в отношении $h$ и единицы сократятся.
Шаг 1 — минимальная частота в серии Лаймана. Все переходы серии заканчиваются на $n=1$, где $E_{1}=-13{,}6$ эВ. Разность будет наименьшей, если прыгать с самой близкой ступеньки, то есть со второй ($E_{2}=-\dfrac{13{,}6}{4}=-3{,}4$ эВ): $$h\nu_{\min}^{\text{Л}}=E_{2}-E_{1}=-3{,}4-(-13{,}6)=10{,}2\ \text{эВ}.$$
Шаг 2 — максимальная частота в серии Бальмера. Эти переходы заканчиваются на $n=2$, где $E_{2}=-3{,}4$ эВ. Разность максимальна, если прыгать с самой верхней «ступеньки», а верхний предел — это $n\to\infty$, где $E_{\infty}=-\dfrac{13{,}6}{\infty^{2}}=0$ (электрон уже свободен). Тогда $$h\nu_{\max}^{\text{Б}}=E_{\infty}-E_{2}=0-(-3{,}4)=3{,}4\ \text{эВ}.$$ Это так называемая граница серии: дальше идёт уже сплошной спектр.
Шаг 3 — отношение частот. Постоянная Планка одна и та же, поэтому она сокращается: $$\beta=\frac{\nu_{\min}^{\text{Л}}}{\nu_{\max}^{\text{Б}}}=\frac{h\nu_{\min}^{\text{Л}}}{h\nu_{\max}^{\text{Б}}}=\frac{10{,}2}{3{,}4}=3.$$
Проверим логику на пальцах. Самый «дешёвый» фотон Лаймана уносит $10{,}2$ эВ, а самый «дорогой» фотон Бальмера — всего $3{,}4$ эВ. Даже минимум одной серии втрое больше максимума другой: ступеньки внизу лестницы расположены гораздо реже, чем вверху, поэтому серия Лаймана целиком лежит в далёком ультрафиолете, а Бальмера — в видимой области и ближнем ультрафиолете. Ответ $\beta=3$ ровно это и отражает.
$\beta=\dfrac{\nu_{\min}^{\text{Л}}}{\nu_{\max}^{\text{Б}}}=\dfrac{10{,}2\ \text{эВ}}{3{,}4\ \text{эВ}}=3$.