Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00026450

Опишем происходящее словами. Свободный электрон летит и «прилипает» к покоящемуся протону — рождается атом водорода, причём электрон оказывается сразу на втором энергетическом уровне. Энергия при этом никуда не девается: излишек уносит фотон. Значит, нужно аккуратно сложить энергетический баланс: что было до соединения и что стало после.

Про точку отсчёта энергии — это здесь самое важное. Формула $E_{n}=-\dfrac{13{,}6}{n^{2}}$ эВ построена так, что нулём энергии считается состояние, когда электрон уже свободен и покоится бесконечно далеко от протона. Все уровни в атоме отрицательны — это значит, что электрон «в яме», и чтобы его вытащить, надо энергию затратить. Поэтому у свободного электрона, летящего с кинетической энергией $E_{k}$, полная энергия равна просто $+E_{k}$, а у собранного атома на втором уровне — $E_{2}=-\dfrac{13{,}6}{4}=-3{,}4$ эВ.

Шаг 1 — кинетическая энергия налетающего электрона. Свяжем её с импульсом: $E_{k}=\dfrac{p^{2}}{2m_{e}}$ (это обычная $\dfrac{m v^{2}}{2}$, переписанная через $p=m_{e}v$). Подставляем $p=2\cdot10^{-24}$ кг$\cdot$м/с и $m_{e}=9{,}1\cdot10^{-31}$ кг: $$E_{k}=\frac{(2\cdot10^{-24})^{2}}{2\cdot 9{,}1\cdot10^{-31}}=\frac{4\cdot10^{-48}}{1{,}82\cdot10^{-30}}\approx 2{,}20\cdot10^{-18}\ \text{Дж}.$$ В электронвольтах это $\dfrac{2{,}20\cdot10^{-18}}{1{,}6\cdot10^{-19}}\approx 13{,}7$ эВ.

Шаг 2 — энергетический баланс. По закону сохранения энергии: было $E_{k}$ (кинетической энергией образовавшегося атома условие разрешает пренебречь, протон вначале покоился), стало $E_{2}$ у атома плюс энергия улетевшего фотона: $$E_{k}=E_{2}+h\nu\quad\Rightarrow\quad h\nu=E_{k}-E_{2}=E_{k}+|E_{2}|.$$ Обрати внимание на знак: поскольку $E_{2}$ отрицательна, вычитание её означает прибавление $3{,}4$ эВ. Физически это понятно — фотон уносит и «лишнюю» кинетическую энергию электрона, и ту энергию, которая выделилась при падении электрона в потенциальную яму атома.

Шаг 3 — считаем энергию фотона: $$h\nu=13{,}7+3{,}4=17{,}1\ \text{эВ}=17{,}1\cdot 1{,}6\cdot10^{-19}\approx 2{,}74\cdot10^{-18}\ \text{Дж}.$$

Шаг 4 — частота: $$\nu=\frac{2{,}74\cdot10^{-18}}{6{,}63\cdot10^{-34}}\approx 4{,}1\cdot10^{15}\ \text{Гц}.$$

Оценим результат: длина волны такого фотона $\lambda=\dfrac{c}{\nu}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{4{,}1\cdot10^{15}}\approx 7{,}3\cdot10^{-8}$ м, то есть $73$ нм — далёкий ультрафиолет. Так и должно быть: энергия фотона больше $13{,}6$ эВ, а видимому свету соответствуют единицы электронвольт. Всё сходится.