Задание ЕГЭ по физике: Электрон, имеющий импульс p = 2·10 –24 кг·м/с, сталкивается с…

Опишем происходящее словами. Свободный электрон летит и «прилипает» к покоящемуся протону — рождается атом водорода, причём электрон оказывается сразу на втором энергетическом уровне. Энергия при этом никуда не девается: излишек уносит фотон. Значит, нужно аккуратно сложить энергетический баланс: что было до соединения и что стало после.

Про точку отсчёта энергии — это здесь самое важное. Формула E_{n}=-\dfrac{13{,}6}{n^{2}} эВ построена так, что нулём энергии считается состояние, когда электрон уже свободен и покоится бесконечно далеко от протона. Все уровни в атоме отрицательны — это значит, что электрон «в яме», и чтобы его вытащить, надо энергию затратить. Поэтому у свободного электрона, летящего с кинетической энергией E_{k}, полная энергия равна просто +E_{k}, а у собранного атома на втором уровне — E_{2}=-\dfrac{13{,}6}{4}=-3{,}4 эВ.

Шаг 1 — кинетическая энергия налетающего электрона. Свяжем её с импульсом: E_{k}=\dfrac{p^{2}}{2m_{e}} (это обычная \dfrac{m v^{2}}{2}, переписанная через p=m_{e}v). Подставляем p=2\cdot10^{-24} кг\cdotм/с и m_{e}=9{,}1\cdot10^{-31} кг: E_{k}=\frac{(2\cdot10^{-24})^{2}}{2\cdot 9{,}1\cdot10^{-31}}=\frac{4\cdot10^{-48}}{1{,}82\cdot10^{-30}}\approx 2{,}20\cdot10^{-18}\ \text{Дж}. В электронвольтах это \dfrac{2{,}20\cdot10^{-18}}{1{,}6\cdot10^{-19}}\approx 13{,}7 эВ.

Шаг 2 — энергетический баланс. По закону сохранения энергии: было E_{k} (кинетической энергией образовавшегося атома условие разрешает пренебречь, протон вначале покоился), стало E_{2} у атома плюс энергия улетевшего фотона: E_{k}=E_{2}+h\nu\quad\Rightarrow\quad h\nu=E_{k}-E_{2}=E_{k}+|E_{2}|. Обрати внимание на знак: поскольку E_{2} отрицательна, вычитание её означает прибавление 3{,}4 эВ. Физически это понятно — фотон уносит и «лишнюю» кинетическую энергию электрона, и ту энергию, которая выделилась при падении электрона в потенциальную яму атома.

Шаг 3 — считаем энергию фотона: h\nu=13{,}7+3{,}4=17{,}1\ \text{эВ}=17{,}1\cdot 1{,}6\cdot10^{-19}\approx 2{,}74\cdot10^{-18}\ \text{Дж}.

Шаг 4 — частота: \nu=\frac{2{,}74\cdot10^{-18}}{6{,}63\cdot10^{-34}}\approx 4{,}1\cdot10^{15}\ \text{Гц}.

Оценим результат: длина волны такого фотона \lambda=\dfrac{c}{\nu}=\dfrac{3\cdot10^{8}}{4{,}1\cdot10^{15}}\approx 7{,}3\cdot10^{-8} м, то есть 73 нм — далёкий ультрафиолет. Так и должно быть: энергия фотона больше 13{,}6 эВ, а видимому свету соответствуют единицы электронвольт. Всё сходится.