ID: 00026449
Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре $T_{1} =600\text{K}$ и давлении $p_{1} =4\cdot 10^{5} \text{Па},$ расширяется и одновременно охлаждается так, что его давление при расширении обратно пропорционально квадрату объёма. Конечное давление газа $p_{2} =10^{5} \text{Па}.$ Какую работу совершил газ при расширении, если он отдал холодильнику количество теплоты $Q=1247\text{Дж?}$
Источник: ФИПИ
Что за процесс описан. Аргон в цилиндре расширяется, но не «как попало»: его давление всё время обратно пропорционально квадрату объёма, то есть $pV^{2}=\text{const}$. При этом газ ещё и остывает и отдаёт холодильнику $1247$ Дж теплоты. Нужна работа газа при расширении. План: сначала по закону процесса найти, во сколько раз вырос объём, затем — конечную температуру, затем изменение внутренней энергии, и наконец из первого закона термодинамики вытащить работу.
Почему это законно и какими законами пользуемся. Аргон — одноатомный газ, его внутренняя энергия целиком «сидит» в поступательном движении атомов и равна $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$; значит, изменение внутренней энергии определяется только изменением температуры и не зависит от того, по какой кривой шёл процесс. Связь давления, объёма и температуры даёт уравнение Клапейрона — Менделеева $pV=\nu RT$. А баланс энергии — первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$, где $Q$ — теплота, полученная газом (если газ теплоту отдал, $Q$ отрицательна), $A$ — работа газа.
Шаг 1 — во сколько раз изменился объём. Из $p_{1}V_{1}^{2}=p_{2}V_{2}^{2}$ получаем $$\frac{V_{2}}{V_{1}}=\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}=\sqrt{\frac{4\cdot10^{5}}{10^{5}}}=\sqrt{4}=2.$$ Объём вырос вдвое.
Шаг 2 — конечная температура. Из уравнения состояния $T=\dfrac{pV}{\nu R}$, поэтому температуры относятся как произведения $pV$: $$\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{p_{2}V_{2}}{p_{1}V_{1}}=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad T_{2}=\frac{600}{2}=300\ \text{К}.$$ Газ действительно охладился — как и сказано в условии.
Шаг 3 — изменение внутренней энергии: $$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\,(T_{2}-T_{1})=\frac{3}{2}\cdot 1\cdot 8{,}31\cdot(300-600)=12{,}465\cdot(-300)\approx -3740\ \text{Дж}.$$ Минус означает, что внутренняя энергия уменьшилась на $3740$ Дж.
Шаг 4 — работа из первого закона термодинамики. Газ отдал холодильнику $1247$ Дж, значит, полученная газом теплота $Q=-1247$ Дж. Тогда $$A=Q-\Delta U=-1247-(-3740)=2493\ \text{Дж}.$$
Смысл ответа стоит проговорить: газ расширялся и поэтому совершал положительную работу почти $2{,}5$ кДж, но взять эту энергию было негде — извне тепло не поступало, наоборот, $1247$ Дж ушло холодильнику. Оба этих расхода оплачены из «копилки» внутренней энергии: $2493+1247=3740$ Дж — ровно на столько она и уменьшилась. Всё сходится.
$A=|Q|+\dfrac{3}{2}\nu R\left(T_{1}-T_{2}\right)\approx 2{,}5\cdot10^{3}$ Дж (примерно $2493$ Дж).