ID: 00026449
Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре T_{1} =600\text{K} и давлении p_{1} =4\cdot 10^{5} \text{Па}, расширяется и одновременно охлаждается так, что его давление при расширении обратно пропорционально квадрату объёма. Конечное давление газа p_{2} =10^{5} \text{Па}. Какую работу совершил газ при расширении, если он отдал холодильнику количество теплоты Q=1247\text{Дж?}
Источник: ФИПИ
Что за процесс описан. Аргон в цилиндре расширяется, но не «как попало»: его давление всё время обратно пропорционально квадрату объёма, то есть pV^{2}=\text{const}. При этом газ ещё и остывает и отдаёт холодильнику 1247 Дж теплоты. Нужна работа газа при расширении. План: сначала по закону процесса найти, во сколько раз вырос объём, затем — конечную температуру, затем изменение внутренней энергии, и наконец из первого закона термодинамики вытащить работу.
Почему это законно и какими законами пользуемся. Аргон — одноатомный газ, его внутренняя энергия целиком «сидит» в поступательном движении атомов и равна U=\dfrac{3}{2}\nu RT; значит, изменение внутренней энергии определяется только изменением температуры и не зависит от того, по какой кривой шёл процесс. Связь давления, объёма и температуры даёт уравнение Клапейрона — Менделеева pV=\nu RT. А баланс энергии — первый закон термодинамики Q=\Delta U+A, где Q — теплота, полученная газом (если газ теплоту отдал, Q отрицательна), A — работа газа.
Шаг 1 — во сколько раз изменился объём. Из p_{1}V_{1}^{2}=p_{2}V_{2}^{2} получаем \frac{V_{2}}{V_{1}}=\sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}=\sqrt{\frac{4\cdot10^{5}}{10^{5}}}=\sqrt{4}=2. Объём вырос вдвое.
Шаг 2 — конечная температура. Из уравнения состояния T=\dfrac{pV}{\nu R}, поэтому температуры относятся как произведения pV: \frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{p_{2}V_{2}}{p_{1}V_{1}}=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad T_{2}=\frac{600}{2}=300\ \text{К}. Газ действительно охладился — как и сказано в условии.
Шаг 3 — изменение внутренней энергии: \Delta U=\frac{3}{2}\nu R\,(T_{2}-T_{1})=\frac{3}{2}\cdot 1\cdot 8{,}31\cdot(300-600)=12{,}465\cdot(-300)\approx -3740\ \text{Дж}. Минус означает, что внутренняя энергия уменьшилась на 3740 Дж.
Шаг 4 — работа из первого закона термодинамики. Газ отдал холодильнику 1247 Дж, значит, полученная газом теплота Q=-1247 Дж. Тогда A=Q-\Delta U=-1247-(-3740)=2493\ \text{Дж}.
Смысл ответа стоит проговорить: газ расширялся и поэтому совершал положительную работу почти 2{,}5 кДж, но взять эту энергию было негде — извне тепло не поступало, наоборот, 1247 Дж ушло холодильнику. Оба этих расхода оплачены из «копилки» внутренней энергии: 2493+1247=3740 Дж — ровно на столько она и уменьшилась. Всё сходится.
A=|Q|+\dfrac{3}{2}\nu R\left(T_{1}-T_{2}\right)\approx 2{,}5\cdot10^{3} Дж (примерно 2493 Дж).