Термодинамика — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026448

Разберёмся с устройством опыта. Сосуд теплоизолирован и разделён тонкой перегородкой: слева газ под давлением $p_{0}$ в объёме $V_{1}$, справа тот же газ под давлением $4p_{0}$ в объёме $V_{2}=2V_{1}$. Перегородку выдёргивают, газы смешиваются и в конце устанавливается одно общее давление во всём сосуде объёмом $V_{1}+V_{2}=3V_{1}$. Его и надо найти.

Главная мысль — что сохраняется. Сосуд теплоизолирован, значит, теплота извне не поступает и наружу не уходит: $Q=0$. Стенки сосуда жёсткие, наружу газ ничего не толкает, поэтому работы над внешними телами газ не совершает: $A=0$. По первому закону термодинамики $Q=\Delta U+A$ получаем $\Delta U=0$ — суммарная внутренняя энергия газа не изменилась. Это и есть ключ: перемешивание внутри сосуда энергию не создаёт и не уничтожает.

Теперь удобный приём. Внутренняя энергия одноатомного идеального газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$, а из уравнения Клапейрона — Менделеева $\nu RT=pV$. Подставляем одно в другое и получаем формулу без температуры и без количества вещества: $$U=\frac{3}{2}pV.$$ Это очень выручает: температуры частей нам неизвестны, а давления и объёмы — известны.

Шаг 1 — внутренняя энергия до снятия перегородки. Складываем энергии двух частей: $$U_{\text{нач}}=\frac{3}{2}p_{0}V_{1}+\frac{3}{2}\cdot 4p_{0}\cdot V_{2}=\frac{3}{2}p_{0}V_{1}+\frac{3}{2}\cdot 4p_{0}\cdot 2V_{1}=\frac{3}{2}\,p_{0}V_{1}(1+8)=\frac{3}{2}\cdot 9p_{0}V_{1}.$$

Шаг 2 — внутренняя энергия после. Газ один и тот же, он заполняет весь объём $3V_{1}$ при искомом давлении $p$: $$U_{\text{кон}}=\frac{3}{2}\,p\cdot 3V_{1}.$$

Шаг 3 — приравниваем и находим давление: $$\frac{3}{2}\cdot 9p_{0}V_{1}=\frac{3}{2}\cdot 3pV_{1}\quad\Rightarrow\quad 9p_{0}=3p\quad\Rightarrow\quad p=3p_{0}.$$

Проверим ответ на разумность. Итоговое давление обязано лежать между $p_{0}$ и $4p_{0}$ — так и есть. Более того, $3p_{0}$ — это в точности средневзвешенное по объёмам значение: $\dfrac{p_{0}\cdot V_{1}+4p_{0}\cdot 2V_{1}}{3V_{1}}=3p_{0}$, и оно ближе к $4p_{0}$, потому что газ высокого давления занимал вдвое больший объём. Заметь и другое: если бы температуры частей были равны, ответ получился бы такой же — здесь он вообще не зависит от того, какими были температуры.