ID: 00026448
Теплоизолированный сосуд разделён тонкой перегородкой на две части, отношение объёмов которых \dfrac{V_{2}}{V_{1}} =2 . Обе части сосуда заполнены одинаковым одноатомным идеальным газом. Давление в первой из них равно р _{0}, во второй – 4 р _{0}. Каким станет давление в сосуде, если перегородку убрать?
Источник: ФИПИ
Разберёмся с устройством опыта. Сосуд теплоизолирован и разделён тонкой перегородкой: слева газ под давлением p_{0} в объёме V_{1}, справа тот же газ под давлением 4p_{0} в объёме V_{2}=2V_{1}. Перегородку выдёргивают, газы смешиваются и в конце устанавливается одно общее давление во всём сосуде объёмом V_{1}+V_{2}=3V_{1}. Его и надо найти.
Главная мысль — что сохраняется. Сосуд теплоизолирован, значит, теплота извне не поступает и наружу не уходит: Q=0. Стенки сосуда жёсткие, наружу газ ничего не толкает, поэтому работы над внешними телами газ не совершает: A=0. По первому закону термодинамики Q=\Delta U+A получаем \Delta U=0 — суммарная внутренняя энергия газа не изменилась. Это и есть ключ: перемешивание внутри сосуда энергию не создаёт и не уничтожает.
Теперь удобный приём. Внутренняя энергия одноатомного идеального газа U=\dfrac{3}{2}\nu RT, а из уравнения Клапейрона — Менделеева \nu RT=pV. Подставляем одно в другое и получаем формулу без температуры и без количества вещества: U=\frac{3}{2}pV. Это очень выручает: температуры частей нам неизвестны, а давления и объёмы — известны.
Шаг 1 — внутренняя энергия до снятия перегородки. Складываем энергии двух частей: U_{\text{нач}}=\frac{3}{2}p_{0}V_{1}+\frac{3}{2}\cdot 4p_{0}\cdot V_{2}=\frac{3}{2}p_{0}V_{1}+\frac{3}{2}\cdot 4p_{0}\cdot 2V_{1}=\frac{3}{2}\,p_{0}V_{1}(1+8)=\frac{3}{2}\cdot 9p_{0}V_{1}.
Шаг 2 — внутренняя энергия после. Газ один и тот же, он заполняет весь объём 3V_{1} при искомом давлении p: U_{\text{кон}}=\frac{3}{2}\,p\cdot 3V_{1}.
Шаг 3 — приравниваем и находим давление: \frac{3}{2}\cdot 9p_{0}V_{1}=\frac{3}{2}\cdot 3pV_{1}\quad\Rightarrow\quad 9p_{0}=3p\quad\Rightarrow\quad p=3p_{0}.
Проверим ответ на разумность. Итоговое давление обязано лежать между p_{0} и 4p_{0} — так и есть. Более того, 3p_{0} — это в точности средневзвешенное по объёмам значение: \dfrac{p_{0}\cdot V_{1}+4p_{0}\cdot 2V_{1}}{3V_{1}}=3p_{0}, и оно ближе к 4p_{0}, потому что газ высокого давления занимал вдвое больший объём. Заметь и другое: если бы температуры частей были равны, ответ получился бы такой же — здесь он вообще не зависит от того, какими были температуры.
p=\dfrac{p_{0}V_{1}+4p_{0}V_{2}}{V_{1}+V_{2}}=3p_{0} — давление в сосуде станет равным 3p_{0}.