ID: 00026446
На расстоянии 6 м от точечного источника монохроматического излучения с длиной волны 0,6 мкм перпендикулярно падающим лучам расположена пластинка площадью 8 мм², на которую падает ежесекундно $6\cdot 10^{12}$ фотонов. Какова мощность излучения источника, если он излучает свет одинаково во все стороны? Площадь сферы радиусом R рассчитывается по формуле:
S = 4π R ².
Источник: ФИПИ
Представь себе крошечную лампочку, которая светит одинаково во все стороны. Её излучение — это поток фотонов, разлетающихся по всем направлениям. На расстоянии $6$ м все фотоны, вылетевшие за секунду, «размазаны» по сфере радиусом $6$ м. Пластинка площадью $8$ мм² — это маленькое окошко на этой сфере, и через него за секунду проходит $6\cdot10^{12}$ фотонов. Значит, зная, какую долю сферы занимает окошко, можно узнать полное число фотонов за секунду, а умножив его на энергию одного фотона — мощность источника.
Почему считаем именно так. Источник излучает изотропно (одинаково во все стороны), поэтому фотоны распределены по сфере равномерно: на равные площадки приходится равное число фотонов. Пластинка расположена перпендикулярно падающим лучам, то есть её площадь совпадает с площадью «вырезанного» куска сферы — иначе пришлось бы учитывать наклон. Энергия одного фотона задаётся формулой Планка $E=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}$, а мощность — это энергия, проходящая (или излучаемая) за одну секунду.
Шаг 1 — площадь сферы. При $R=6$ м $$S_{\text{сф}}=4\pi R^{2}=4\cdot 3{,}14\cdot 36\approx 452\ \text{м}^{2}.$$
Шаг 2 — во сколько раз сфера больше пластинки. Площадь пластинки $S=8$ мм² $=8\cdot10^{-6}$ м², поэтому $$\frac{S_{\text{сф}}}{S}=\frac{452}{8\cdot10^{-6}}\approx 5{,}65\cdot10^{7}.$$ Вот такая доля излучения и попадает на пластинку — примерно одна пятидесятимиллионная.
Шаг 3 — полное число фотонов, испускаемых источником за секунду. Через окошко идёт $N=6\cdot10^{12}$ фотонов в секунду, значит, всего $$N_{\text{полн}}=N\cdot\frac{S_{\text{сф}}}{S}=6\cdot10^{12}\cdot 5{,}65\cdot10^{7}\approx 3{,}39\cdot10^{20}\ \text{фотонов в секунду}.$$
Шаг 4 — энергия одного фотона. Длина волны $\lambda=0{,}6$ мкм $=6\cdot10^{-7}$ м: $$E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{6\cdot10^{-7}}=\frac{1{,}989\cdot10^{-25}}{6\cdot10^{-7}}\approx 3{,}32\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$
Шаг 5 — мощность излучения: $$P=N_{\text{полн}}E=3{,}39\cdot10^{20}\cdot 3{,}32\cdot10^{-19}\approx 1{,}1\cdot10^{2}\ \text{Вт}.$$
И всё сходится: около сотни ватт для источника света — совершенно обычная величина (как яркая лампа). А огромное число фотонов не должно смущать: энергия одного фотона видимого света всего порядка $10^{-19}$ Дж, поэтому даже скромная мощность означает сотни квинтиллионов фотонов в секунду.
$P=\dfrac{N\,hc}{\lambda}\cdot\dfrac{4\pi R^{2}}{S}\approx 1{,}1\cdot10^{2}\ \text{Вт}$ (около $112$ Вт).