ID: 00026442
Метеорологический зонд общей массой 20 кг удерживают на поверхности Земли силой, равной по модулю 1 кН и направленной вниз. Затем зонд отпускают, он поднимается вверх и остаётся на такой высоте, где его объём увеличивается в 2 раза. Температура, измеренная зондом на этой высоте, равна –43 °С. Определите давление на этой высоте, если на поверхности Земли давление равно 10⁵ Па, а температура равна +17 °С.
Источник: ФИПИ
Начнём с картины происходящего. Зонд — это большой шар с лёгким газом, его тянет вверх архимедова сила окружающего воздуха. У земли эта сила настолько велика, что зонд приходится удерживать вниз силой $1$ кН. Отпустили — зонд полетел вверх и завис на некоторой высоте. Завис — значит, там архимедова сила стала равна силе тяжести. А наверху воздух разряжённее, поэтому и подъёмная сила меньше: именно по тому, во сколько раз она уменьшилась, мы и вычислим давление.
Почему так можно считать. Пока зонд удерживают, он покоится, значит, сумма сил равна нулю: вверх архимедова сила, вниз сила тяжести и удерживающая сила. На высоте зонд снова покоится — там из сил остались только архимедова и тяжесть. Архимедова сила по закону Архимеда равна весу вытесненного воздуха: $F_{A}=\rho_{\text{в}}gV$, где $\rho_{\text{в}}$ — плотность окружающего воздуха, а $V$ — объём зонда. А плотность воздуха связана с его давлением и температурой уравнением Клапейрона — Менделеева, записанным через плотность: из $pV=\dfrac{m}{M}RT$ следует $\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{pM}{RT}$. Воздух считаем идеальным газом, его состав (а значит, молярная масса $M$) на всех высотах одинаков — это и позволит связать плотности с давлениями.
Шаг 1 — подъёмная сила у земли. Условие равновесия на поверхности: $$F_{A1}=mg+F\quad\Rightarrow\quad F_{A1}=20\cdot 10+1000=1200\ \text{Н}.$$ Здесь $F=1$ кН $=1000$ Н — удерживающая сила, $m=20$ кг — масса зонда.
Шаг 2 — подъёмная сила на высоте. Там зонд висит без всякой помощи: $$F_{A2}=mg=20\cdot 10=200\ \text{Н}.$$ Подъёмная сила уменьшилась ровно в $1200/200=6$ раз.
Шаг 3 — что стало с плотностью воздуха. Раскроем обе архимедовы силы: $F_{A1}=\rho_{1}gV_{1}$ и $F_{A2}=\rho_{2}gV_{2}$, причём по условию $V_{2}=2V_{1}$ (оболочка растянулась, объём вырос вдвое). Делим одно на другое: $$\frac{F_{A1}}{F_{A2}}=\frac{\rho_{1}V_{1}}{\rho_{2}\cdot 2V_{1}}=\frac{\rho_{1}}{2\rho_{2}}=6\quad\Rightarrow\quad \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}=12.$$ То есть воздух на этой высоте в $12$ раз разряжённее приземного. Обрати внимание: объём зонда вырос всего вдвое, а плотность упала в $12$ раз — сила уменьшилась в $6$ раз именно как $12/2$.
Шаг 4 — от плотностей к давлению. Подставляем $\rho=\dfrac{pM}{RT}$: $$\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}=\frac{p_{1}M/(RT_{1})}{p_{2}M/(RT_{2})}=\frac{p_{1}T_{2}}{p_{2}T_{1}}=12\quad\Rightarrow\quad p_{2}=\frac{p_{1}T_{2}}{12\,T_{1}}.$$
Шаг 5 — числа. Температуры переводим в кельвины: $T_{1}=17+273=290$ К, $T_{2}=-43+273=230$ К. Тогда $$p_{2}=\frac{10^{5}\cdot 230}{12\cdot 290}=\frac{2{,}3\cdot10^{7}}{3480}\approx 6{,}6\cdot10^{3}\ \text{Па}.$$
И всё сходится: давление упало примерно в $15$ раз, а температура — всего на четверть, поэтому воздух и получился в $12$ раз разряжённее. Такое давление и такая температура ($-43\ ^\circ$С) — это высота порядка $18$–$20$ км, куда метеорологические зонды действительно и поднимаются.
$p_{2}=\dfrac{p_{1}T_{2}}{12\,T_{1}}\approx 6{,}6\cdot10^{3}\ \text{Па}$ (около $6{,}6$ кПа).