Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00026436

Разберёмся в сюжете. Фотокатод освещают ультрафиолетом с длиной волны $300$ нм, из металла вылетают электроны — это фотоэффект. Чтобы измерить их энергию, на электроды подают запирающее (задерживающее) напряжение: его увеличивают до тех значений, при которых даже самые быстрые электроны не могут долететь до второго электрода и ток прекращается. Такое напряжение оказалось равным $0{,}9$ В. По этим данным надо найти «красную границу» фотоэффекта — самую большую длину волны, при которой электроны из этого материала ещё вылетают.

Обоснуем модель. Работает уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: энергия поглощённого фотона тратится на работу выхода (это «плата» за вырывание электрона из металла) и на кинетическую энергию вылетевшего электрона: $$\frac{hc}{\lambda}=A+E_{K\text{max}},$$ где энергию фотона мы записали через длину волны, $A$ — работа выхода. Смысл запирающего напряжения: электрон, тормозясь в электрическом поле, теряет всю кинетическую энергию, а поле совершает над ним работу $eU_{\text{з}}$, поэтому $$E_{K\text{max}}=eU_{\text{з}}.$$ Наконец, «красная граница» — это тот случай, когда энергии фотона хватает ровно на работу выхода, а на разгон электрона уже ничего не остаётся: $$\frac{hc}{\lambda_{\text{кр}}}=A.$$ Заметь важное: работа выхода — характеристика самого металла, она не зависит от того, каким светом мы его облучаем. Именно это и позволяет решить задачу.

Шаг 1 — энергия падающего фотона. Переведём длину волны: $\lambda=300$ нм $=3\cdot10^{-7}$ м. $$\frac{hc}{\lambda}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{3\cdot10^{-7}}=\frac{1{,}989\cdot10^{-25}}{3\cdot10^{-7}}=6{,}63\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$

Шаг 2 — максимальная кинетическая энергия электронов: $$E_{K\text{max}}=eU_{\text{з}}=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot 0{,}9=1{,}44\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$

Шаг 3 — работа выхода: $$A=\frac{hc}{\lambda}-eU_{\text{з}}=6{,}63\cdot10^{-19}-1{,}44\cdot10^{-19}=5{,}19\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$ Для ориентира это около $3{,}2$ эВ — правдоподобное значение для металла.

Шаг 4 — красная граница: $$\lambda_{\text{кр}}=\frac{hc}{A}=\frac{1{,}989\cdot10^{-25}}{5{,}19\cdot10^{-19}}\approx 3{,}8\cdot10^{-7}\ \text{м}.$$

Проверим на непротиворечивость. Красная граница получилась $380$ нм, а облучали мы светом $300$ нм — то есть более коротковолновым, значит, более энергичным. Так и должно быть: фотоэффект наблюдался, электроны вылетали, а излишек энергии фотона ушёл им в кинетическую энергию. Если бы красная граница вышла меньше $300$ нм, это сразу означало бы ошибку в решении: при $\lambda\gt\lambda_{\text{кр}}$ фотоэффекта не бывает вообще, сколько бы света ни лили на катод.