Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00026435

Разберёмся в сюжете. Лампа берёт из сети $60$ Вт, но в свет превращает лишь малую часть — её КПД всего $6\ \%$ (остальное уходит в тепло). Каждую секунду лампа выпускает $10^{19}$ фотонов. Зная, сколько энергии в секунду уходит на свет и на сколько фотонов она поделена, можно найти энергию одного фотона, а по ней — длину волны. Речь идёт о средней длине волны, потому что лампа накаливания светит не одним цветом, а целым спектром.

Обоснуем модель. КПД по определению — это отношение полезной энергии к затраченной, поэтому мощность излучения равна $$P_{\text{изл}}=\eta P.$$ Дальше пользуемся квантовыми представлениями: свет излучается порциями, энергия одного фотона равна $E_1=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}$ (частоту заменили через длину волны по формуле $\nu=\dfrac{c}{\lambda}$, справедливой для света в вакууме). Раз за секунду излучается $N$ фотонов, то мощность излучения — это энергия всех фотонов, выпущенных за секунду: $$P_{\text{изл}}=N E_1.$$

Шаг 1 — мощность излучения: $$P_{\text{изл}}=\eta P=0{,}06\cdot 60=3{,}6\ \text{Вт}.$$ То есть в свет уходит всего $3{,}6$ Вт, а $56{,}4$ Вт греют воздух вокруг лампы.

Шаг 2 — энергия одного фотона: $$E_1=\frac{P_{\text{изл}}}{N}=\frac{3{,}6}{10^{19}}=3{,}6\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$$

Шаг 3 — длина волны. Из $E_1=\dfrac{hc}{\lambda}$ следует $$\lambda=\frac{hc}{E_1}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{3{,}6\cdot10^{-19}}=\frac{1{,}989\cdot10^{-25}}{3{,}6\cdot10^{-19}}\approx 5{,}5\cdot10^{-7}\ \text{м}.$$

Одной формулой всё решение выглядит так: $$\lambda=\frac{hcN}{\eta P}.$$

Проверим правдоподобность: $5{,}5\cdot10^{-7}$ м — это $550$ нанометров, то есть жёлто-зелёный участок видимого спектра, ровно середина диапазона, к которому наиболее чувствителен человеческий глаз. Для лампы, светящей «тёплым белым» светом, средняя длина волны именно такой и должна получиться, — значит, порядок величины верный и мы нигде не потеряли ни КПД, ни степень десяти.