ID: 00026431
В кастрюле находится 0{,}5 кг воды при температуре 10\,^\circС. Сколько потребуется времени, чтобы при помощи кипятильника с постоянной потребляемой мощностью 400 Вт превратить в пар 15\ \% воды из кастрюли? Потерями тепла и теплоёмкостью кастрюли пренебречь.
Источник: ФИПИ
Разберёмся, что должно произойти с водой. Кипятильник — это нагреватель с постоянной мощностью: каждую секунду он отдаёт воде одно и то же количество энергии. Чтобы часть воды превратилась в пар, нужно пройти два этапа. Сначала прогреть ВСЮ воду от 10\,^\circС до температуры кипения 100\,^\circС — пока вода холоднее, кипения не будет. И только потом, при постоянной температуре 100\,^\circС, испарить 15\ \% массы. Значит, считаем теплоту для каждого этапа отдельно, складываем и делим на мощность.
Обоснуем модель. Потерями тепла и теплоёмкостью кастрюли условие разрешает пренебречь, поэтому вся энергия кипятильника идёт воде: Q=Pt. Нагрев без смены состояния считается по формуле Q_1=cm\Delta T, где c=4200\ \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)} — удельная теплоёмкость воды. Превращение жидкости в пар при постоянной температуре кипения требует теплоты Q_2=Lm_{\text{пар}}, где L=2{,}3\cdot10^{6} Дж/кг — удельная теплота парообразования воды; она огромна по сравнению с теплоёмкостью, и именно поэтому испарить даже небольшую часть воды почти так же «дорого», как нагреть всю воду от комнатной температуры до кипения.
Шаг 1 — нагрев всей воды до кипения: Q_1=cm(100-t_0)=4200\cdot 0{,}5\cdot (100-10)=4200\cdot 0{,}5\cdot 90=189\,000\ \text{Дж}.
Шаг 2 — масса испаряемой части и теплота на парообразование: m_{\text{пар}}=0{,}15\cdot 0{,}5=0{,}075\ \text{кг}, Q_2=Lm_{\text{пар}}=2{,}3\cdot10^{6}\cdot 0{,}075=172\,500\ \text{Дж}.
Шаг 3 — вся нужная теплота: Q=Q_1+Q_2=189\,000+172\,500=361\,500\ \text{Дж}.
Шаг 4 — время. Раз потерь нет, Q=Pt, поэтому t=\frac{Q}{P}=\frac{361\,500}{400}\approx 904\ \text{с}.
Переведём в минуты: 904 с — это примерно 15 минут. Величина правдоподобная: полкастрюли воды на бытовом кипятильнике действительно закипает минут за восемь, а потом ещё столько же уходит на выкипание граммов ста. И обрати внимание на два места, где чаще всего ошибаются: нагревать надо ВСЮ воду (0{,}5 кг), а испарять — только её 15\ \% (0{,}075 кг); и разность температур считается до 100\,^\circС, а не до нуля.
t=\dfrac{cm(100-t_0)+L\cdot 0{,}15m}{P}\approx 904 с (примерно 15 минут).