Задание 23 ЕГЭ по физике: В стакан налили 30 г заварки температурой 20 в степени ° С и…

Разберёмся в сюжете. В стакане смешали две порции жидкости разной температуры: холодноватую заварку (30 г при 20\,^\circС) и горячую воду (170 г при 80\,^\circС). Горячая вода будет отдавать теплоту, заварка — принимать, и через некоторое время вся смесь придёт к одной общей температуре. Её и надо найти.

Обоснуем модель. Условие разрешает пренебречь теплоёмкостью стакана и потерями тепла наружу — значит, вся теплота, которую отдала горячая вода, досталась заварке, ничего не ушло «на сторону». Это и есть уравнение теплового баланса: Q_{\text{отд}}=Q_{\text{погл}}. Каждая порция меняет температуру без смены агрегатного состояния (никто не закипает и не замерзает), поэтому теплота считается по формуле Q=cm\Delta T, где \Delta T — модуль изменения температуры. Удельные теплоёмкости заварки и воды по условию одинаковы, и это очень удобно: c войдёт в оба слагаемых и сократится, поэтому её численное значение нам даже не понадобится.

Шаг 1 — запишем баланс. Пусть t — искомая конечная температура; она обязана лежать между 20\,^\circС и 80\,^\circС. Заварка нагревается от t_1=20\,^\circС до t, значит, поглощает Q_{\text{погл}}=cm_1(t-t_1). Вода остывает от t_2=80\,^\circС до t, значит, отдаёт Q_{\text{отд}}=cm_2(t_2-t).

Шаг 2 — приравняем и сократим c: m_1(t-t_1)=m_2(t_2-t).

Шаг 3 — раскроем скобки и соберём t в одной части: m_1t-m_1t_1=m_2t_2-m_2t\quad\Rightarrow\quad t(m_1+m_2)=m_1t_1+m_2t_2\quad\Rightarrow\quad t=\frac{m_1t_1+m_2t_2}{m_1+m_2}. Получилось средневзвешенное значение температур: каждая порция «тянет» результат к себе тем сильнее, чем она массивнее.

Шаг 4 — считаем. Массы можно оставить в граммах, ведь они входят и в числитель, и в знаменатель: t=\frac{30\cdot 20+170\cdot 80}{30+170}=\frac{600+13600}{200}=\frac{14200}{200}=71\,^\circ\text{С}.

Проверим себя на разумность. Горячей воды почти в шесть раз больше, поэтому итог должен получиться заметно ближе к 80\,^\circС, чем к 20\,^\circС, — так и вышло: 71\,^\circС. И баланс сходится численно: заварка нагрелась на 51 градус (51\cdot 30=1530 в условных единицах c\cdotг\cdot°С), а вода остыла на 9 градусов (9\cdot 170=1530) — теплоты ровно столько же, сколько получено.