Тепловые Явления — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026430

Разберёмся в сюжете. В стакане смешали две порции жидкости разной температуры: холодноватую заварку ($30$ г при $20\,^\circ$С) и горячую воду ($170$ г при $80\,^\circ$С). Горячая вода будет отдавать теплоту, заварка — принимать, и через некоторое время вся смесь придёт к одной общей температуре. Её и надо найти.

Обоснуем модель. Условие разрешает пренебречь теплоёмкостью стакана и потерями тепла наружу — значит, вся теплота, которую отдала горячая вода, досталась заварке, ничего не ушло «на сторону». Это и есть уравнение теплового баланса: $$Q_{\text{отд}}=Q_{\text{погл}}.$$ Каждая порция меняет температуру без смены агрегатного состояния (никто не закипает и не замерзает), поэтому теплота считается по формуле $Q=cm\Delta T$, где $\Delta T$ — модуль изменения температуры. Удельные теплоёмкости заварки и воды по условию одинаковы, и это очень удобно: $c$ войдёт в оба слагаемых и сократится, поэтому её численное значение нам даже не понадобится.

Шаг 1 — запишем баланс. Пусть $t$ — искомая конечная температура; она обязана лежать между $20\,^\circ$С и $80\,^\circ$С. Заварка нагревается от $t_1=20\,^\circ$С до $t$, значит, поглощает $$Q_{\text{погл}}=cm_1(t-t_1).$$ Вода остывает от $t_2=80\,^\circ$С до $t$, значит, отдаёт $$Q_{\text{отд}}=cm_2(t_2-t).$$

Шаг 2 — приравняем и сократим $c$: $$m_1(t-t_1)=m_2(t_2-t).$$

Шаг 3 — раскроем скобки и соберём $t$ в одной части: $$m_1t-m_1t_1=m_2t_2-m_2t\quad\Rightarrow\quad t(m_1+m_2)=m_1t_1+m_2t_2\quad\Rightarrow\quad t=\frac{m_1t_1+m_2t_2}{m_1+m_2}.$$ Получилось средневзвешенное значение температур: каждая порция «тянет» результат к себе тем сильнее, чем она массивнее.

Шаг 4 — считаем. Массы можно оставить в граммах, ведь они входят и в числитель, и в знаменатель: $$t=\frac{30\cdot 20+170\cdot 80}{30+170}=\frac{600+13600}{200}=\frac{14200}{200}=71\,^\circ\text{С}.$$

Проверим себя на разумность. Горячей воды почти в шесть раз больше, поэтому итог должен получиться заметно ближе к $80\,^\circ$С, чем к $20\,^\circ$С, — так и вышло: $71\,^\circ$С. И баланс сходится численно: заварка нагрелась на $51$ градус ($51\cdot 30=1530$ в условных единицах $c\cdot$г$\cdot$°С), а вода остыла на $9$ градусов ($9\cdot 170=1530$) — теплоты ровно столько же, сколько получено.