Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00026429

Разберёмся, что от нас хотят. Есть электрон с известной кинетической энергией — у него есть импульс. И есть фотон, импульс которого точно такой же. Нужна длина волны этого фотона. Значит, план такой: сначала находим импульс электрона, потом по этому импульсу — длину волны фотона.

Проговорим модель. Электрон — обычная частица, и его импульс с кинетической энергией связаны формулами $E_K=\dfrac{m_e\upsilon^{2}}{2}$ и $p=m_e\upsilon$. Из них удобно получить связь напрямую: $$p^{2}=m_e^{2}\upsilon^{2}=2m_e\cdot\frac{m_e\upsilon^{2}}{2}=2m_eE_K\quad\Rightarrow\quad p=\sqrt{2m_eE_K}.$$ Нерелятивистскими формулами пользоваться можно: энергия $E_K\approx 9{,}6\cdot10^{-25}$ Дж — это примерно $6$ микроэлектронвольт, что несравнимо меньше энергии покоя электрона, поэтому электрон движется совсем не быстро по сравнению со светом. У фотона всё иначе: у него нет массы, а импульс связан с длиной волны соотношением $$p=\frac{h}{\lambda},$$ где $h=6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{Дж}\cdot\text{с}$ — постоянная Планка. Обрати внимание: складывать или сравнивать их энергии нельзя, в условии речь именно об импульсах — их-то и приравниваем.

Шаг 1 — импульс электрона. Масса электрона $m_e=9{,}1\cdot10^{-31}$ кг (табличное значение): $$p=\sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot10^{-31}\cdot 9{,}6\cdot10^{-25}}=\sqrt{1{,}75\cdot10^{-54}}\approx 1{,}32\cdot10^{-27}\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$ Разберись с корнем из степени: $\sqrt{10^{-54}}=10^{-27}$, а $\sqrt{1{,}75}\approx 1{,}32$.

Шаг 2 — длина волны фотона с тем же импульсом: $$\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{1{,}32\cdot10^{-27}}\approx 5{,}0\cdot10^{-7}\ \text{м}.$$

Шаг 3 — соберём и одну общую формулу, так надёжнее: $$\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m_eE_K}}.$$

Проверим правдоподобность: $5\cdot10^{-7}$ м — это $500$ нанометров, зелёный видимый свет. Результат хорошо укладывается в шкалу электромагнитных волн, значит, в степенях мы не ошиблись. И полезное наблюдение: энергия такого фотона равна $\dfrac{hc}{\lambda}\approx 4\cdot10^{-19}$ Дж — почти в миллион раз больше кинетической энергии электрона, хотя импульсы у них одинаковые. Так и должно быть: у фотона энергия связана с импульсом как $E=pc$, а у медленной частицы — как $E_K=\dfrac{p\upsilon}{2}$, где скорость $\upsilon$ много меньше $c$.