Задание 23 ЕГЭ по физике: Ион ускоряется в электрическом поле с разностью потенциалов U =…

Посмотрим, что нарисовано и что происходит. Слева стоит источник ионов, дальше — две пластины с приложенной разностью потенциалов U: пролетая между ними, ион разгоняется. Справа кружочками с точками показано однородное магнитное поле, направленное «на нас», из плоскости рисунка; ион влетает в него перпендикулярно вектору индукции и заворачивает по дуге окружности радиусом R=0{,}2 м. Ни массы, ни заряда иона по отдельности мы не узнаем — да это и не требуется: спрашивают их отношение. Такая установка называется масс-спектрометром, и именно по отношению \dfrac{m}{q} в ней и различают ионы.

Обоснуем модель. На участке разгона работает энергетическое соотношение: работа электрического поля над зарядом равна A=qU, и вся она превращается в кинетическую энергию, потому что начальной энергией иона по условию можно пренебречь, а других сил на этом участке нет. В магнитном поле картина иная: сила Лоренца перпендикулярна скорости, работы не совершает, модуль скорости не меняет — она лишь заворачивает ион, играя роль центростремительной силы. Отсюда и берётся движение по окружности постоянного радиуса.

Шаг 1 — участок разгона: qU=\frac{m\upsilon^{2}}{2}, где \upsilon — скорость иона на входе в магнитное поле.

Шаг 2 — участок в магнитном поле. Скорость перпендикулярна вектору индукции, поэтому сила Лоренца равна q\upsilon B, и второй закон Ньютона для движения по окружности даёт q\upsilon B=\frac{m\upsilon^{2}}{R}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{m\upsilon}{qB}.

Шаг 3 — исключаем скорость, которая нам не нужна. Из второго уравнения \upsilon=\frac{qBR}{m}. Подставляем в первое: qU=\frac{m}{2}\cdot\frac{q^{2}B^{2}R^{2}}{m^{2}}=\frac{q^{2}B^{2}R^{2}}{2m}.

Шаг 4 — сокращаем на q (заряд иона не равен нулю) и выражаем искомое отношение: U=\frac{qB^{2}R^{2}}{2m}\quad\Rightarrow\quad \frac{m}{q}=\frac{B^{2}R^{2}}{2U}. Обрати внимание, как удачно получилось: масса и заряд по отдельности исчезли, осталось ровно то отношение, о котором спрашивают.

Шаг 5 — подставляем числа, переведя киловольты в вольты (U=10 кВ =10^{4} В): \frac{m}{q}=\frac{(0{,}5)^{2}\cdot (0{,}2)^{2}}{2\cdot 10^{4}}=\frac{0{,}25\cdot 0{,}04}{2\cdot10^{4}}=\frac{0{,}01}{2\cdot10^{4}}=5\cdot10^{-7}\ \text{кг/Кл}.

Проверим правдоподобность. Для однократно ионизованного атома q=1{,}6\cdot10^{-19} Кл, тогда масса иона вышла бы 5\cdot10^{-7}\cdot 1{,}6\cdot10^{-19}=8\cdot10^{-26} кг — это примерно 48 атомных единиц массы, вполне обычный атом среднего веса. Значит, порядок величины разумный и ошибок в степенях мы не наделали.