Магнетизм (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00026416

Посмотрим, что нарисовано и что происходит. Слева стоит источник ионов, дальше — две пластины с приложенной разностью потенциалов $U$: пролетая между ними, ион разгоняется. Справа кружочками с точками показано однородное магнитное поле, направленное «на нас», из плоскости рисунка; ион влетает в него перпендикулярно вектору индукции и заворачивает по дуге окружности радиусом $R=0{,}2$ м. Ни массы, ни заряда иона по отдельности мы не узнаем — да это и не требуется: спрашивают их отношение. Такая установка называется масс-спектрометром, и именно по отношению $\dfrac{m}{q}$ в ней и различают ионы.

Обоснуем модель. На участке разгона работает энергетическое соотношение: работа электрического поля над зарядом равна $A=qU$, и вся она превращается в кинетическую энергию, потому что начальной энергией иона по условию можно пренебречь, а других сил на этом участке нет. В магнитном поле картина иная: сила Лоренца перпендикулярна скорости, работы не совершает, модуль скорости не меняет — она лишь заворачивает ион, играя роль центростремительной силы. Отсюда и берётся движение по окружности постоянного радиуса.

Шаг 1 — участок разгона: $$qU=\frac{m\upsilon^{2}}{2},$$ где $\upsilon$ — скорость иона на входе в магнитное поле.

Шаг 2 — участок в магнитном поле. Скорость перпендикулярна вектору индукции, поэтому сила Лоренца равна $q\upsilon B$, и второй закон Ньютона для движения по окружности даёт $$q\upsilon B=\frac{m\upsilon^{2}}{R}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{m\upsilon}{qB}.$$

Шаг 3 — исключаем скорость, которая нам не нужна. Из второго уравнения $$\upsilon=\frac{qBR}{m}.$$ Подставляем в первое: $$qU=\frac{m}{2}\cdot\frac{q^{2}B^{2}R^{2}}{m^{2}}=\frac{q^{2}B^{2}R^{2}}{2m}.$$

Шаг 4 — сокращаем на $q$ (заряд иона не равен нулю) и выражаем искомое отношение: $$U=\frac{qB^{2}R^{2}}{2m}\quad\Rightarrow\quad \frac{m}{q}=\frac{B^{2}R^{2}}{2U}.$$ Обрати внимание, как удачно получилось: масса и заряд по отдельности исчезли, осталось ровно то отношение, о котором спрашивают.

Шаг 5 — подставляем числа, переведя киловольты в вольты ($U=10$ кВ $=10^{4}$ В): $$\frac{m}{q}=\frac{(0{,}5)^{2}\cdot (0{,}2)^{2}}{2\cdot 10^{4}}=\frac{0{,}25\cdot 0{,}04}{2\cdot10^{4}}=\frac{0{,}01}{2\cdot10^{4}}=5\cdot10^{-7}\ \text{кг/Кл}.$$

Проверим правдоподобность. Для однократно ионизованного атома $q=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл, тогда масса иона вышла бы $5\cdot10^{-7}\cdot 1{,}6\cdot10^{-19}=8\cdot10^{-26}$ кг — это примерно $48$ атомных единиц массы, вполне обычный атом среднего веса. Значит, порядок величины разумный и ошибок в степенях мы не наделали.