Задание 23 ЕГЭ по физике: Заряженная частица с массой m равно 1, 6 умножить на 10 в…

Разберёмся, что дано. Частица летит перпендикулярно линиям однородного магнитного поля и потому движется по окружности известного радиуса R=0{,}4 м. Известны её масса и кинетическая энергия, а найти нужно заряд. Значит, надо связать три вещи: энергию — со скоростью, а скорость и заряд — с радиусом окружности.

Объясним, почему модель именно такая. Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы, поэтому она не совершает работы: модуль скорости не меняется, меняется только направление. Такая сила — постоянная по модулю и всё время перпендикулярная скорости — заставляет частицу двигаться по окружности с постоянной скоростью, и она же играет роль центростремительной силы. Раз скорость постоянна, кинетическая энергия W по условию — это энергия на всём протяжении движения, и по ней можно найти скорость. Релятивистскими эффектами разрешено пренебречь, поэтому пользуемся обычной формулой W=\dfrac{mv^{2}}{2}, а не релятивистской.

Шаг 1 — находим скорость из кинетической энергии: W=\frac{mv^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2W}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 8\cdot10^{-14}}{1{,}6\cdot10^{-25}}}=\sqrt{\frac{1{,}6\cdot10^{-13}}{1{,}6\cdot10^{-25}}}=\sqrt{10^{12}}=10^{6}\ \text{м/с}. Числа подобраны красиво: получился ровно миллион метров в секунду.

Шаг 2 — записываем второй закон Ньютона для движения по окружности. Сила Лоренца при \vec v\perp\vec B равна F=qvB, а центростремительное ускорение равно \dfrac{v^{2}}{R}: qvB=\frac{mv^{2}}{R}. Сокращаем на v (частица движется, значит, v\neq 0) и выражаем заряд: q=\frac{mv}{RB}.

Шаг 3 — подставляем числа: q=\frac{1{,}6\cdot10^{-25}\cdot 10^{6}}{0{,}4\cdot 0{,}5}=\frac{1{,}6\cdot10^{-19}}{0{,}2}=8\cdot10^{-19}\ \text{Кл}.

Можно было собрать и одну общую формулу, подставив скорость сразу: q=\frac{m}{RB}\sqrt{\frac{2W}{m}}=\frac{\sqrt{2mW}}{RB}. Проверим: 2mW=2\cdot1{,}6\cdot10^{-25}\cdot 8\cdot10^{-14}=2{,}56\cdot10^{-38}, корень равен 1{,}6\cdot10^{-19}, делим на 0{,}2 — снова 8\cdot10^{-19} Кл.

И всё сходится: полученный заряд равен пяти элементарным зарядам (8\cdot10^{-19}/1{,}6\cdot10^{-19}=5), то есть перед нами вполне правдоподобный пятикратно ионизованный ион, а не что-то физически невозможное.