ID: 00026394
Заряженная частица с массой $m=1,6\cdot 10^{-25}кг$ и зарядом q движется по окружности радиусом R = 0,4 м перпендикулярно линиям магнитной индукции однородного магнитного поля с индукцией $B=0,5Тл.$ Кинетическая энергия частицы $W=8\cdot 10^{-14}$ Дж. Найдите заряд данной частицы, считая его положительным. Релятивистскими эффектами пренебречь.
Источник: ФИПИ
Разберёмся, что дано. Частица летит перпендикулярно линиям однородного магнитного поля и потому движется по окружности известного радиуса $R=0{,}4$ м. Известны её масса и кинетическая энергия, а найти нужно заряд. Значит, надо связать три вещи: энергию — со скоростью, а скорость и заряд — с радиусом окружности.
Объясним, почему модель именно такая. Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы, поэтому она не совершает работы: модуль скорости не меняется, меняется только направление. Такая сила — постоянная по модулю и всё время перпендикулярная скорости — заставляет частицу двигаться по окружности с постоянной скоростью, и она же играет роль центростремительной силы. Раз скорость постоянна, кинетическая энергия $W$ по условию — это энергия на всём протяжении движения, и по ней можно найти скорость. Релятивистскими эффектами разрешено пренебречь, поэтому пользуемся обычной формулой $W=\dfrac{mv^{2}}{2}$, а не релятивистской.
Шаг 1 — находим скорость из кинетической энергии: $$W=\frac{mv^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2W}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 8\cdot10^{-14}}{1{,}6\cdot10^{-25}}}=\sqrt{\frac{1{,}6\cdot10^{-13}}{1{,}6\cdot10^{-25}}}=\sqrt{10^{12}}=10^{6}\ \text{м/с}.$$ Числа подобраны красиво: получился ровно миллион метров в секунду.
Шаг 2 — записываем второй закон Ньютона для движения по окружности. Сила Лоренца при $\vec v\perp\vec B$ равна $F=qvB$, а центростремительное ускорение равно $\dfrac{v^{2}}{R}$: $$qvB=\frac{mv^{2}}{R}.$$ Сокращаем на $v$ (частица движется, значит, $v\neq 0$) и выражаем заряд: $$q=\frac{mv}{RB}.$$
Шаг 3 — подставляем числа: $$q=\frac{1{,}6\cdot10^{-25}\cdot 10^{6}}{0{,}4\cdot 0{,}5}=\frac{1{,}6\cdot10^{-19}}{0{,}2}=8\cdot10^{-19}\ \text{Кл}.$$
Можно было собрать и одну общую формулу, подставив скорость сразу: $$q=\frac{m}{RB}\sqrt{\frac{2W}{m}}=\frac{\sqrt{2mW}}{RB}.$$ Проверим: $2mW=2\cdot1{,}6\cdot10^{-25}\cdot 8\cdot10^{-14}=2{,}56\cdot10^{-38}$, корень равен $1{,}6\cdot10^{-19}$, делим на $0{,}2$ — снова $8\cdot10^{-19}$ Кл.
И всё сходится: полученный заряд равен пяти элементарным зарядам ($8\cdot10^{-19}/1{,}6\cdot10^{-19}=5$), то есть перед нами вполне правдоподобный пятикратно ионизованный ион, а не что-то физически невозможное.
$q=\dfrac{\sqrt{2mW}}{RB}=8\cdot10^{-19}$ Кл.