Магнетизм (нет в… — Задание ЕГЭ по физике №00026392

Сначала распутаем сюжет. У иона две разные «жизни». Сначала он пролетает участок, где между началом и концом есть разность потенциалов $U=2$ кВ: там электрическое поле разгоняет его от нуля до какой-то скорости. Потом ион вылетает в область однородного магнитного поля перпендикулярно линиям индукции — и закручивается по окружности, радиус которой и надо найти. Значит, план из двух шагов: сначала находим скорость после разгона, затем по этой скорости считаем радиус.

Теперь объясним, почему считать можно именно так. На участке разгона работает теорема о кинетической энергии: работа электрического поля над заряженной частицей равна $A=qU$, и вся эта работа целиком идёт в кинетическую энергию. Целиком — потому что установка стоит в вакууме (нет столкновений с молекулами газа, значит, ничего не теряется на трение), силой тяжести условие разрешает пренебречь, а начальная скорость по условию нулевая. В магнитном поле картина другая: сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости, поэтому она вообще не совершает работы и не меняет модуль скорости — она только поворачивает вектор скорости. Постоянная по модулю сила, всё время перпендикулярная скорости, — это в точности условие равномерного движения по окружности, и она играет роль центростремительной силы.

Шаг 1 — скорость иона после разгона. Записываем то, что сказано выше, формулой: $$qU=\frac{mv^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}.$$ Здесь $v$ — скорость иона на выходе из ускоряющего промежутка. Подставляем числа, не забыв, что $U=2$ кВ $=2\cdot10^{3}$ В: $$v=\sqrt{\frac{2\cdot 3{,}2\cdot10^{-19}\cdot 2\cdot10^{3}}{1{,}5\cdot10^{-25}}}=\sqrt{\frac{1{,}28\cdot10^{-15}}{1{,}5\cdot10^{-25}}}=\sqrt{8{,}53\cdot10^{9}}\approx 9{,}2\cdot10^{4}\ \text{м/с}.$$

Шаг 2 — радиус окружности. В магнитном поле сила Лоренца $F=qvB$ (скорость перпендикулярна индукции, поэтому синус угла равен единице) и есть та самая центростремительная сила. Второй закон Ньютона для движения по окружности: $$qvB=\frac{mv^{2}}{R}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{mv}{qB}.$$

Шаг 3 — подставляем числа: $$R=\frac{1{,}5\cdot10^{-25}\cdot 9{,}2\cdot10^{4}}{3{,}2\cdot10^{-19}\cdot 0{,}5}=\frac{1{,}38\cdot10^{-20}}{1{,}6\cdot10^{-19}}\approx 0{,}087\ \text{м}.$$

Полезно уметь и сразу собрать одну формулу, чтобы не тащить округлённую скорость через всё решение. Подставим $v=\sqrt{2qU/m}$ в $R=\dfrac{mv}{qB}$: $$R=\frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2qU}{m}}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}.$$ Считаем: $\dfrac{2\cdot 1{,}5\cdot10^{-25}\cdot 2\cdot10^{3}}{3{,}2\cdot10^{-19}}=1{,}875\cdot10^{-3}$, корень из этого $\approx 4{,}33\cdot10^{-2}$, делим на $0{,}5$ — получаем те же $0{,}087$ м.

И всё сходится: чем тяжелее ион и чем сильнее его разогнали, тем шире получается «круг», а чем сильнее магнитное поле, тем круче он заворачивает. Радиус около $8{,}7$ см — вполне лабораторный масштаб, такие установки (масс-спектрометры) действительно размером со стол.