Задание 23 ЕГЭ по физике: Ион с зарядом q равно 3, 2 умножить на 10 в степени минус 19 Кл…

Сначала распутаем сюжет. У иона две разные «жизни». Сначала он пролетает участок, где между началом и концом есть разность потенциалов U=2 кВ: там электрическое поле разгоняет его от нуля до какой-то скорости. Потом ион вылетает в область однородного магнитного поля перпендикулярно линиям индукции — и закручивается по окружности, радиус которой и надо найти. Значит, план из двух шагов: сначала находим скорость после разгона, затем по этой скорости считаем радиус.

Теперь объясним, почему считать можно именно так. На участке разгона работает теорема о кинетической энергии: работа электрического поля над заряженной частицей равна A=qU, и вся эта работа целиком идёт в кинетическую энергию. Целиком — потому что установка стоит в вакууме (нет столкновений с молекулами газа, значит, ничего не теряется на трение), силой тяжести условие разрешает пренебречь, а начальная скорость по условию нулевая. В магнитном поле картина другая: сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости, поэтому она вообще не совершает работы и не меняет модуль скорости — она только поворачивает вектор скорости. Постоянная по модулю сила, всё время перпендикулярная скорости, — это в точности условие равномерного движения по окружности, и она играет роль центростремительной силы.

Шаг 1 — скорость иона после разгона. Записываем то, что сказано выше, формулой: qU=\frac{mv^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}. Здесь v — скорость иона на выходе из ускоряющего промежутка. Подставляем числа, не забыв, что U=2 кВ =2\cdot10^{3} В: v=\sqrt{\frac{2\cdot 3{,}2\cdot10^{-19}\cdot 2\cdot10^{3}}{1{,}5\cdot10^{-25}}}=\sqrt{\frac{1{,}28\cdot10^{-15}}{1{,}5\cdot10^{-25}}}=\sqrt{8{,}53\cdot10^{9}}\approx 9{,}2\cdot10^{4}\ \text{м/с}.

Шаг 2 — радиус окружности. В магнитном поле сила Лоренца F=qvB (скорость перпендикулярна индукции, поэтому синус угла равен единице) и есть та самая центростремительная сила. Второй закон Ньютона для движения по окружности: qvB=\frac{mv^{2}}{R}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{mv}{qB}.

Шаг 3 — подставляем числа: R=\frac{1{,}5\cdot10^{-25}\cdot 9{,}2\cdot10^{4}}{3{,}2\cdot10^{-19}\cdot 0{,}5}=\frac{1{,}38\cdot10^{-20}}{1{,}6\cdot10^{-19}}\approx 0{,}087\ \text{м}.

Полезно уметь и сразу собрать одну формулу, чтобы не тащить округлённую скорость через всё решение. Подставим v=\sqrt{2qU/m} в R=\dfrac{mv}{qB}: R=\frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2qU}{m}}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}. Считаем: \dfrac{2\cdot 1{,}5\cdot10^{-25}\cdot 2\cdot10^{3}}{3{,}2\cdot10^{-19}}=1{,}875\cdot10^{-3}, корень из этого \approx 4{,}33\cdot10^{-2}, делим на 0{,}5 — получаем те же 0{,}087 м.

И всё сходится: чем тяжелее ион и чем сильнее его разогнали, тем шире получается «круг», а чем сильнее магнитное поле, тем круче он заворачивает. Радиус около 8{,}7 см — вполне лабораторный масштаб, такие установки (масс-спектрометры) действительно размером со стол.