ID: 00026407
Прямолинейный однородный проводник постоянного сечения подвешен горизонтально на двух непроводящих нитях в однородном магнитном поле с индукцией B = 10 мТл. Вектор магнитной индукции горизонтален и перпендикулярен проводнику. Ток какой силы следует пропустить по проводнику, чтобы сила натяжения каждой из нитей уменьшилась вдвое? Отношение массы проводника к его длине \dfrac{m}{l} = 0,01 кг/м.
Источник: ФИПИ
Разберёмся в сюжете. Прямой проводник висит горизонтально на двух нитях — как перекладина на качелях. Пока тока нет, нити держат его вес. Если по проводнику пустить ток, на него в магнитном поле начнёт действовать сила Ампера. Если направить её вверх, она частично «подхватит» проводник, и нитям придётся тянуть слабее. Нужен такой ток, при котором натяжение каждой нити уменьшится ровно вдвое.
Обоснуем модель. Проводник однородный и постоянного сечения, висит на двух одинаковых нитях — значит, нагрузка распределена между ними поровну, и натяжение каждой нити одинаково. Проводник покоится, поэтому работает условие равновесия: векторная сумма всех сил равна нулю; все силы здесь вертикальны, так что достаточно одного уравнения на вертикальную ось. Сила Ампера равна F=BIl\sin\alpha, а поскольку вектор магнитной индукции перпендикулярен проводнику, \sin\alpha=1 и F=BIl. Направлена она перпендикулярно и проводнику, и вектору \vec B; оба они горизонтальны, значит, сила Ампера вертикальна — либо вверх, либо вниз, в зависимости от направления тока. Нам нужна та, что вверх.
Шаг 1 — состояние без тока. На проводник действуют сила тяжести mg вниз и две силы натяжения T_0 вверх: 2T_0=mg\quad\Rightarrow\quad T_0=\frac{mg}{2}.
Шаг 2 — состояние с током. Теперь добавляется сила Ампера F, направленная вверх, а натяжение каждой нити стало T=\dfrac{T_0}{2}=\dfrac{mg}{4}. Условие равновесия: 2T+F=mg.
Шаг 3 — выразим силу Ампера: F=mg-2T=mg-2\cdot\frac{mg}{4}=mg-\frac{mg}{2}=\frac{mg}{2}. То есть половину веса проводника должно взять на себя магнитное поле — это логично: нити стали держать вдвое меньше, а тяжесть никуда не делась.
Шаг 4 — приравняем это выражение к формуле силы Ампера и выразим ток: BIl=\frac{mg}{2}\quad\Rightarrow\quad I=\frac{mg}{2Bl}=\frac{g}{2B}\cdot\frac{m}{l}. Обрати внимание, как удачно всё сложилось: ни массы, ни длины по отдельности мы не знаем, но в формулу входит именно их отношение \dfrac{m}{l}, а оно дано.
Шаг 5 — подставим числа, переведя миллитеслы в теслы (B=10 мТл =0{,}01 Тл) и взяв g=10\ \text{м/с}^2: I=\frac{10\cdot 0{,}01}{2\cdot 0{,}01}=\frac{0{,}1}{0{,}02}=5\ \text{А}.
И всё сходится по смыслу: сила Ампера уравновешивает половину веса, поэтому нитям остаётся вторая половина, которую они делят пополам, — вот натяжение каждой и упало вдвое. Если пустить ток вдвое больше, сила Ампера сравняется с весом, и нити провиснут совсем.
I=\dfrac{g}{2B}\cdot\dfrac{m}{l}=5 А. Ток надо пустить так, чтобы сила Ампера была направлена вертикально вверх.