Задание 23 ЕГЭ по физике: Положительно заряженная частица массой m равно 1, 6 умножить на…

Что тут происходит. Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции и наматывает круги. Спрашивают угловую скорость обращения — то есть на какой угол частица поворачивается за секунду. Самое интересное в этой задаче то, что скорость частицы вообще не дана, а ответ всё равно найдётся: он от скорости не зависит.

Объясним модель. Сила Лоренца F=qvB (синус угла между скоростью и индукцией равен единице, так как движение перпендикулярно линиям поля) всегда перпендикулярна скорости, поэтому работы не совершает: модуль скорости остаётся постоянным, меняется только направление. Постоянная по модулю сила, вечно перпендикулярная скорости, — это и есть центростремительная сила, а движение под её действием — равномерное движение по окружности. Релятивистскими эффектами пренебрегаем, значит, масса постоянна и можно писать обычный второй закон Ньютона.

Шаг 1 — второй закон Ньютона для окружности. Центростремительное ускорение равно \dfrac{v^{2}}{R}, а роль силы играет сила Лоренца: qvB=\frac{mv^{2}}{R}\quad\Rightarrow\quad R=\frac{mv}{qB}. Здесь R — радиус окружности, v — модуль скорости частицы.

Шаг 2 — вспомним, что такое угловая скорость. Это угол, «пройденный» за единицу времени; для движения по окружности \omega=\dfrac{v}{R}. Подставим найденный радиус: \omega=\frac{v}{R}=\frac{v\,qB}{mv}=\frac{qB}{m}. Скорость сократилась — вот почему её и не дали в условии. Быстрая частица бежит по большому кругу, медленная по маленькому, но круг они обегают за одно и то же время.

Шаг 3 — подставляем числа: \omega=\frac{8\cdot10^{-19}\cdot 0{,}5}{1{,}6\cdot10^{-25}}=\frac{4\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-25}}=2{,}5\cdot10^{6}\ \text{рад/с}.

Проверим себя. Такой угловой скорости соответствует период обращения T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{6{,}28}{2{,}5\cdot10^{6}}\approx 2{,}5\cdot10^{-6} с, то есть около 2{,}5 микросекунды на один оборот. Именно на этом свойстве — «период не зависит от скорости» — работает циклотрон: ускоряющее напряжение в нём переключают с постоянной частотой, и оно всё время попадает «в такт» частице, хотя та с каждым кругом летит быстрее.