ID: 00026427
Плоская горизонтальная фигура площадью S = 0,1 м², ограниченная замкнутым проводящим контуром с сопротивлением R = 5 Ом, находится в однородном магнитном поле. Какой заряд протечёт по контуру за большой промежуток времени, пока проекция магнитной индукции на вертикальную ось Oz медленно и равномерно меняется с $B_{1z}$ = 0,2 Тл до $B_{2z}$ = –0,2 Тл?
Источник: ФИПИ
Разберёмся в сюжете. Есть замкнутый проводящий контур, лежащий горизонтально, а магнитное поле медленно и равномерно перестраивается: его вертикальная составляющая уезжает от $+0{,}2$ Тл до $-0{,}2$ Тл, то есть поле разворачивается на противоположное. Пока поле меняется, через контур меняется магнитный поток, в нём идёт индукционный ток — и по контуру за всё это время протекает некоторый заряд. Его-то и надо найти.
Самое важное здесь — понять, что скорость изменения поля нам знать не нужно. Смотри, как связаны величины. По закону электромагнитной индукции Фарадея ЭДС равна скорости изменения потока: $\mathcal{E}=\left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|$. Ток по закону Ома: $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R}$. А заряд — это ток, умноженный на время: $$q=I\,\Delta t=\frac{\mathcal{E}\,\Delta t}{R}=\frac{1}{R}\cdot\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|\cdot\Delta t=\frac{|\Delta\Phi|}{R}.$$ Время сократилось! Значит, протёкший заряд зависит только от того, НА СКОЛЬКО изменился поток, и совсем не зависит от того, за какое время это произошло. Медленно меняли поле — ток был слабый, но текло долго; быстро — ток сильный, но недолго; заряд один и тот же. Именно поэтому в условии и написано «за большой промежуток времени»: нам не сообщают ни $\Delta t$, ни скорость изменения — они не нужны.
Обоснуем ещё пару моментов. Фигура горизонтальная, значит, перпендикуляр к её плоскости вертикален — это как раз ось $Oz$, о которой говорится в условии. Поэтому магнитный поток равен $\Phi=B_zS$, где $B_z$ — проекция индукции на вертикаль; площадь постоянна, контур неподвижен, так что поток меняется только из-за поля. Слово «медленно» дополнительно означает, что ток мал, самоиндукцией и нагревом можно не заниматься.
Шаг 1 — изменение потока. Начальный поток: $$\Phi_1=B_{1z}S=0{,}2\cdot 0{,}1=0{,}02\ \text{Вб}.$$ Конечный: $$\Phi_2=B_{2z}S=-0{,}2\cdot 0{,}1=-0{,}02\ \text{Вб}.$$ Изменение: $$|\Delta\Phi|=|\Phi_2-\Phi_1|=|-0{,}02-0{,}02|=0{,}04\ \text{Вб}.$$ Обрати внимание: раз поле развернулось, изменение потока получилось в два раза больше начального значения — знак ни в коем случае нельзя терять.
Шаг 2 — заряд: $$q=\frac{|\Delta\Phi|}{R}=\frac{0{,}04}{5}=8\cdot10^{-3}\ \text{Кл}.$$
И всё сходится: получилось $8$ милликулон. Если бы кто-то потерял знак минус у конечного значения и взял изменение поля равным нулю, заряд получился бы нулевым — а ведь ток по контуру заведомо шёл. Если же взять только $0{,}2$ Тл вместо $0{,}4$ Тл, ответ выйдет вдвое меньше. Так что вся задача, по сути, про аккуратность со знаком проекции.
$q=\dfrac{|\Delta\Phi|}{R}=\dfrac{S\,|B_{2z}-B_{1z}|}{R}=\dfrac{0{,}1\cdot 0{,}4}{5}=8\cdot10^{-3}$ Кл $=8$ мКл.