ID: 00026412
Замкнутый контур площадью $S$ из тонкой проволоки помещён в магнитное поле. Плоскость контура перпендикулярна вектору магнитной индукции поля. В контуре возникают колебания тока с амплитудой $i_{\text{м}}=35$ мА, если магнитная индукция поля меняется с течением времени в соответствии с формулой $B=a\cos(bt)$, где $a=6\cdot 10^{-3}$ Тл, $b=3500\ \text{с}^{-1}$. Электрическое сопротивление контура $R=1{,}2$ Ом. Чему равна площадь контура?
Источник: ФИПИ
Разберёмся в сюжете. Проволочное колечко лежит в магнитном поле, причём поле не постоянное: его индукция колеблется по закону косинуса, то усиливаясь, то ослабевая и меняя направление. Из-за этого меняется магнитный поток через контур, в нём возникает ЭДС индукции, а с ней и переменный ток. Амплитуда этого тока известна, известно сопротивление — надо найти площадь контура.
Обоснуем модель. Плоскость контура перпендикулярна вектору индукции, значит, поле «пронизывает» контур под прямым углом, и магнитный поток равен просто $\Phi=BS$ без всяких косинусов угла. Площадь постоянна (контур жёсткий и неподвижный), поэтому поток колеблется точно так же, как поле: $$\Phi=SB=Sa\cos(bt),$$ то есть по гармоническому закону с амплитудой $\Phi_m=Sa$ и циклической частотой $b$. По закону электромагнитной индукции Фарадея ЭДС равна скорости изменения потока, взятой с обратным знаком. Здесь пригодится факт, знакомый по механическим колебаниям: если величина меняется гармонически с амплитудой $A$ и циклической частотой $\omega$, то скорость её изменения тоже гармоническая, а её амплитуда равна $\omega A$ (так же, как у колебаний координаты $x=A\cos\omega t$ амплитуда скорости равна $\omega A$). Проволока тонкая, а её индуктивностью в такой задаче пренебрегают, поэтому ток связан с ЭДС обычным законом Ома.
Шаг 1 — амплитуда ЭДС индукции. Поток колеблется с амплитудой $\Phi_m=Sa$ и частотой $b$, значит, амплитуда скорости его изменения, а с ней и амплитуда ЭДС, равна $$\mathcal{E}_m=b\,\Phi_m=Sab.$$
Шаг 2 — связь с амплитудой тока. По закону Ома для участка цепи в каждый момент времени $i=\dfrac{\mathcal{E}}{R}$, поэтому и амплитуды связаны так же: $$i_{\text{м}}=\frac{\mathcal{E}_m}{R}=\frac{Sab}{R}.$$
Шаг 3 — выражаем площадь: $$S=\frac{i_{\text{м}}R}{ab}.$$
Шаг 4 — подставляем числа, переведя миллиамперы в амперы ($i_{\text{м}}=35$ мА $=0{,}035$ А): $$S=\frac{0{,}035\cdot 1{,}2}{6\cdot10^{-3}\cdot 3500}=\frac{0{,}042}{21}=2\cdot10^{-3}\ \text{м}^{2}.$$
Переведём в привычные единицы: $2\cdot10^{-3}$ м² $=20$ см², то есть контур размером примерно $4{,}5\times 4{,}5$ см. Величина вполне лабораторная — значит, с порядками нигде не ошиблись. И проверим обратным ходом: $\mathcal{E}_m=Sab=2\cdot10^{-3}\cdot 6\cdot10^{-3}\cdot 3500=0{,}042$ В, тогда $i_{\text{м}}=\dfrac{0{,}042}{1{,}2}=0{,}035$ А — ровно те $35$ мА, что даны в условии.
$S=\dfrac{i_{\text{м}}R}{ab}=2\cdot10^{-3}\ \text{м}^{2}$, то есть $20$ см².