ID: 00026412
Замкнутый контур площадью S из тонкой проволоки помещён в магнитное поле. Плоскость контура перпендикулярна вектору магнитной индукции поля. В контуре возникают колебания тока с амплитудой i_{\text{м}}=35 мА, если магнитная индукция поля меняется с течением времени в соответствии с формулой B=a\cos(bt), где a=6\cdot 10^{-3} Тл, b=3500\ \text{с}^{-1}. Электрическое сопротивление контура R=1{,}2 Ом. Чему равна площадь контура?
Источник: ФИПИ
Разберёмся в сюжете. Проволочное колечко лежит в магнитном поле, причём поле не постоянное: его индукция колеблется по закону косинуса, то усиливаясь, то ослабевая и меняя направление. Из-за этого меняется магнитный поток через контур, в нём возникает ЭДС индукции, а с ней и переменный ток. Амплитуда этого тока известна, известно сопротивление — надо найти площадь контура.
Обоснуем модель. Плоскость контура перпендикулярна вектору индукции, значит, поле «пронизывает» контур под прямым углом, и магнитный поток равен просто \Phi=BS без всяких косинусов угла. Площадь постоянна (контур жёсткий и неподвижный), поэтому поток колеблется точно так же, как поле: \Phi=SB=Sa\cos(bt), то есть по гармоническому закону с амплитудой \Phi_m=Sa и циклической частотой b. По закону электромагнитной индукции Фарадея ЭДС равна скорости изменения потока, взятой с обратным знаком. Здесь пригодится факт, знакомый по механическим колебаниям: если величина меняется гармонически с амплитудой A и циклической частотой \omega, то скорость её изменения тоже гармоническая, а её амплитуда равна \omega A (так же, как у колебаний координаты x=A\cos\omega t амплитуда скорости равна \omega A). Проволока тонкая, а её индуктивностью в такой задаче пренебрегают, поэтому ток связан с ЭДС обычным законом Ома.
Шаг 1 — амплитуда ЭДС индукции. Поток колеблется с амплитудой \Phi_m=Sa и частотой b, значит, амплитуда скорости его изменения, а с ней и амплитуда ЭДС, равна \mathcal{E}_m=b\,\Phi_m=Sab.
Шаг 2 — связь с амплитудой тока. По закону Ома для участка цепи в каждый момент времени i=\dfrac{\mathcal{E}}{R}, поэтому и амплитуды связаны так же: i_{\text{м}}=\frac{\mathcal{E}_m}{R}=\frac{Sab}{R}.
Шаг 3 — выражаем площадь: S=\frac{i_{\text{м}}R}{ab}.
Шаг 4 — подставляем числа, переведя миллиамперы в амперы (i_{\text{м}}=35 мА =0{,}035 А): S=\frac{0{,}035\cdot 1{,}2}{6\cdot10^{-3}\cdot 3500}=\frac{0{,}042}{21}=2\cdot10^{-3}\ \text{м}^{2}.
Переведём в привычные единицы: 2\cdot10^{-3} м² =20 см², то есть контур размером примерно 4{,}5\times 4{,}5 см. Величина вполне лабораторная — значит, с порядками нигде не ошиблись. И проверим обратным ходом: \mathcal{E}_m=Sab=2\cdot10^{-3}\cdot 6\cdot10^{-3}\cdot 3500=0{,}042 В, тогда i_{\text{м}}=\dfrac{0{,}042}{1{,}2}=0{,}035 А — ровно те 35 мА, что даны в условии.
S=\dfrac{i_{\text{м}}R}{ab}=2\cdot10^{-3}\ \text{м}^{2}, то есть 20 см².