Э/М Индукция (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00026399

Сначала разберёмся со схемой. Источник с ЭДС $\mathcal{E}$ соединён последовательно с катушкой индуктивности $L$; дальше провод приходит в узел, от которого идут две одинаковые ветви с резисторами $R$: одна (средняя на рисунке) подключена всегда, во второй (правой) стоит ключ. Обе ветви сходятся на нижнем проводе, в котором стоит амперметр, — значит, амперметр показывает полный ток, идущий через катушку и через источник. По графику до замыкания ключа этот ток равен $I_0=3$ А, а после замыкания он плавно поднимается до нового значения $I_1$, которое и надо найти.

Обоснуем модель. Внутренним сопротивлением источника условие разрешает пренебречь, а у катушки в установившемся режиме (когда ток перестал меняться) напряжения на ней нет — идеальная катушка сопротивления постоянному току не оказывает. Поэтому в оба установившихся состояния ток считаем по закону Ома: $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R_{\text{внеш}}}$, где $R_{\text{внеш}}$ — сопротивление подключённых резисторов. А сам переход из одного состояния в другое описывает явление самоиндукции: при изменении тока меняется магнитный поток катушки через саму себя, и в ней возникает ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{si}=-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$.

Шаг 1 — почему ток растёт плавно, а не прыгает. Если бы ток изменился мгновенно, отношение $\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ было бы бесконечно большим, а значит, бесконечной оказалась бы и ЭДС самоиндукции — такого быть не может. По правилу Ленца ЭДС самоиндукции всегда противодействует причине, её вызвавшей: раз ток нарастает, она направлена против нарастания и как бы «придерживает» ток. Поэтому сразу после замыкания ключа ток ещё почти такой же, как был, потом растёт всё медленнее, а когда рост прекращается, ЭДС самоиндукции обращается в нуль и ток устанавливается на новом значении. Именно такую сглаженную кривую с выходом на горизонтальную полку и показывает график.

Шаг 2 — первое установившееся состояние (ключ разомкнут). Работает только одна ветвь с резистором $R$: $$I_0=\frac{\mathcal{E}}{R}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{E}=I_0R.$$ По графику $I_0=3$ А.

Шаг 3 — второе установившееся состояние (ключ замкнут). Теперь оба резистора подключены к одной и той же паре узлов, то есть соединены параллельно: $$R_{\text{внеш}}=\frac{R\cdot R}{R+R}=\frac{R}{2}.$$ Полный ток через катушку и амперметр: $$I_1=\frac{\mathcal{E}}{R/2}=\frac{2\mathcal{E}}{R}.$$

Шаг 4 — избавляемся от неизвестных $\mathcal{E}$ и $R$. Подставим $\mathcal{E}=I_0R$: $$I_1=\frac{2I_0R}{R}=2I_0=2\cdot 3=6\ \text{А}.$$

И всё сходится: подключив второй такой же резистор параллельно, мы вдвое уменьшили сопротивление внешней части цепи, поэтому установившийся ток вырос ровно в два раза — с $3$ А до $6$ А. Катушка на конечный результат не влияет (в установившемся режиме она «прозрачна» для тока), она отвечает только за то, что переход занимает время, а не происходит мгновенно.