ID: 00026399
Катушка, обладающая индуктивностью L , соединена с источником питания с ЭДС ℰ и двумя одинаковыми резисторами R . Электрическая схема соединения показана на рис. 1. В начальный момент ключ в цепи разомкнут.
В момент времени t = 0 ключ замыкают, что приводит к изменениям силы тока, регистрируемым амперметром, как показано на рис. 2. Основываясь на известных физических законах, объясните, почему при замыкании ключа сила тока плавно увеличивается до некоторого нового значения – I 1 . Определите значение силы тока I 1 . Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.
Источник: ФИПИ
Сначала разберёмся со схемой. Источник с ЭДС \mathcal{E} соединён последовательно с катушкой индуктивности L; дальше провод приходит в узел, от которого идут две одинаковые ветви с резисторами R: одна (средняя на рисунке) подключена всегда, во второй (правой) стоит ключ. Обе ветви сходятся на нижнем проводе, в котором стоит амперметр, — значит, амперметр показывает полный ток, идущий через катушку и через источник. По графику до замыкания ключа этот ток равен I_0=3 А, а после замыкания он плавно поднимается до нового значения I_1, которое и надо найти.
Обоснуем модель. Внутренним сопротивлением источника условие разрешает пренебречь, а у катушки в установившемся режиме (когда ток перестал меняться) напряжения на ней нет — идеальная катушка сопротивления постоянному току не оказывает. Поэтому в оба установившихся состояния ток считаем по закону Ома: I=\dfrac{\mathcal{E}}{R_{\text{внеш}}}, где R_{\text{внеш}} — сопротивление подключённых резисторов. А сам переход из одного состояния в другое описывает явление самоиндукции: при изменении тока меняется магнитный поток катушки через саму себя, и в ней возникает ЭДС самоиндукции \mathcal{E}_{si}=-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}.
Шаг 1 — почему ток растёт плавно, а не прыгает. Если бы ток изменился мгновенно, отношение \dfrac{\Delta I}{\Delta t} было бы бесконечно большим, а значит, бесконечной оказалась бы и ЭДС самоиндукции — такого быть не может. По правилу Ленца ЭДС самоиндукции всегда противодействует причине, её вызвавшей: раз ток нарастает, она направлена против нарастания и как бы «придерживает» ток. Поэтому сразу после замыкания ключа ток ещё почти такой же, как был, потом растёт всё медленнее, а когда рост прекращается, ЭДС самоиндукции обращается в нуль и ток устанавливается на новом значении. Именно такую сглаженную кривую с выходом на горизонтальную полку и показывает график.
Шаг 2 — первое установившееся состояние (ключ разомкнут). Работает только одна ветвь с резистором R: I_0=\frac{\mathcal{E}}{R}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{E}=I_0R. По графику I_0=3 А.
Шаг 3 — второе установившееся состояние (ключ замкнут). Теперь оба резистора подключены к одной и той же паре узлов, то есть соединены параллельно: R_{\text{внеш}}=\frac{R\cdot R}{R+R}=\frac{R}{2}. Полный ток через катушку и амперметр: I_1=\frac{\mathcal{E}}{R/2}=\frac{2\mathcal{E}}{R}.
Шаг 4 — избавляемся от неизвестных \mathcal{E} и R. Подставим \mathcal{E}=I_0R: I_1=\frac{2I_0R}{R}=2I_0=2\cdot 3=6\ \text{А}.
И всё сходится: подключив второй такой же резистор параллельно, мы вдвое уменьшили сопротивление внешней части цепи, поэтому установившийся ток вырос ровно в два раза — с 3 А до 6 А. Катушка на конечный результат не влияет (в установившемся режиме она «прозрачна» для тока), она отвечает только за то, что переход занимает время, а не происходит мгновенно.
Ток нарастает плавно из-за самоиндукции: мгновенное изменение тока в катушке потребовало бы бесконечной ЭДС самоиндукции, а возникающая ЭДС по правилу Ленца противодействует росту тока, поэтому он подбирается к новому установившемуся значению постепенно. Новое значение I_1=2I_0=6 А.