Задание 23 ЕГЭ по физике: Квадратная проволочная рамка со стороной l равно 10 см находится…

Разберёмся, что происходит. Квадратная рамка со стороной l=10 см лежит в магнитном поле, и поле меняется со временем. Из-за этого через рамку меняется магнитный поток, в ней возникает ЭДС индукции, течёт индукционный ток и рамка греется. Нужно посчитать, сколько теплоты выделится за 10 секунд.

Посмотрим на график. Проекция вектора индукции на перпендикуляр к плоскости рамки меняется двумя прямыми участками. Сначала, с 0 до 4 с, она линейно падает с 0{,}6 Тл до -0{,}4 Тл. Потом, с 4 до 10 с, линейно растёт от -0{,}4 Тл до 0{,}2 Тл. То, что величина становится отрицательной, означает лишь одно: поле развернулось в противоположную сторону — для нагрева это не важно, важна только скорость изменения.

Теперь обоснуем модель. Магнитный поток через плоскую рамку равен \Phi=B_n S, где B_n — как раз та самая проекция индукции на перпендикуляр к плоскости, а S — площадь рамки; площадь не меняется, рамка неподвижна, поэтому весь поток меняется только из-за поля. По закону электромагнитной индукции Фарадея ЭДС равна скорости изменения потока: \mathcal{E}=\left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|=S\left|\dfrac{\Delta B_n}{\Delta t}\right|. На каждом из двух участков график — прямая, значит, скорость изменения постоянна, ЭДС постоянна, ток постоянен, и на каждом участке можно спокойно считать теплоту по закону Джоуля–Ленца: Q=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R}\,t. А вот считать «в среднем за все 10 секунд» нельзя — участки надо разбирать по отдельности и складывать теплоту, потому что мощность зависит от ЭДС квадратично.

Шаг 1 — площадь рамки: S=l^{2}=(0{,}1)^{2}=0{,}01\ \text{м}^{2}.

Шаг 2 — первый участок (0\ldots4 с). Скорость изменения поля: \left|\frac{\Delta B_n}{\Delta t}\right|=\frac{|-0{,}4-0{,}6|}{4-0}=\frac{1}{4}=0{,}25\ \text{Тл/с}. ЭДС индукции: \mathcal{E}_1=S\cdot 0{,}25=0{,}01\cdot 0{,}25=2{,}5\cdot10^{-3} В. Теплота за эти 4 секунды: Q_1=\frac{\mathcal{E}_1^{2}}{R}t_1=\frac{(2{,}5\cdot10^{-3})^{2}}{0{,}2}\cdot 4=\frac{6{,}25\cdot10^{-6}}{0{,}2}\cdot 4=3{,}125\cdot10^{-5}\cdot 4=1{,}25\cdot10^{-4}\ \text{Дж}.

Шаг 3 — второй участок (4\ldots10 с). Скорость изменения: \left|\frac{\Delta B_n}{\Delta t}\right|=\frac{0{,}2-(-0{,}4)}{10-4}=\frac{0{,}6}{6}=0{,}1\ \text{Тл/с}. ЭДС: \mathcal{E}_2=0{,}01\cdot 0{,}1=1\cdot10^{-3} В. Теплота за 6 секунд: Q_2=\frac{(10^{-3})^{2}}{0{,}2}\cdot 6=\frac{10^{-6}}{0{,}2}\cdot 6=5\cdot10^{-6}\cdot 6=3\cdot10^{-5}\ \text{Дж}.

Шаг 4 — складываем: Q=Q_1+Q_2=1{,}25\cdot10^{-4}+0{,}3\cdot10^{-4}=1{,}55\cdot10^{-4}\ \text{Дж}.

И всё сходится: на первом участке поле менялось в 2{,}5 раза быстрее, поэтому ЭДС была в 2{,}5 раза больше, а мощность — в 6{,}25 раза больше; хотя этот участок длился в полтора раза меньше по времени, теплоты на нём выделилось примерно вчетверо больше. Итог — около 155 микроджоулей: величина крошечная, но это нормально для рамки в слабо меняющемся поле.