Э/М Индукция (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00026409

Разберёмся, что происходит. Квадратная рамка со стороной $l=10$ см лежит в магнитном поле, и поле меняется со временем. Из-за этого через рамку меняется магнитный поток, в ней возникает ЭДС индукции, течёт индукционный ток и рамка греется. Нужно посчитать, сколько теплоты выделится за $10$ секунд.

Посмотрим на график. Проекция вектора индукции на перпендикуляр к плоскости рамки меняется двумя прямыми участками. Сначала, с $0$ до $4$ с, она линейно падает с $0{,}6$ Тл до $-0{,}4$ Тл. Потом, с $4$ до $10$ с, линейно растёт от $-0{,}4$ Тл до $0{,}2$ Тл. То, что величина становится отрицательной, означает лишь одно: поле развернулось в противоположную сторону — для нагрева это не важно, важна только скорость изменения.

Теперь обоснуем модель. Магнитный поток через плоскую рамку равен $\Phi=B_n S$, где $B_n$ — как раз та самая проекция индукции на перпендикуляр к плоскости, а $S$ — площадь рамки; площадь не меняется, рамка неподвижна, поэтому весь поток меняется только из-за поля. По закону электромагнитной индукции Фарадея ЭДС равна скорости изменения потока: $\mathcal{E}=\left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|=S\left|\dfrac{\Delta B_n}{\Delta t}\right|$. На каждом из двух участков график — прямая, значит, скорость изменения постоянна, ЭДС постоянна, ток постоянен, и на каждом участке можно спокойно считать теплоту по закону Джоуля–Ленца: $Q=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R}\,t$. А вот считать «в среднем за все 10 секунд» нельзя — участки надо разбирать по отдельности и складывать теплоту, потому что мощность зависит от ЭДС квадратично.

Шаг 1 — площадь рамки: $$S=l^{2}=(0{,}1)^{2}=0{,}01\ \text{м}^{2}.$$

Шаг 2 — первый участок ($0\ldots4$ с). Скорость изменения поля: $$\left|\frac{\Delta B_n}{\Delta t}\right|=\frac{|-0{,}4-0{,}6|}{4-0}=\frac{1}{4}=0{,}25\ \text{Тл/с}.$$ ЭДС индукции: $\mathcal{E}_1=S\cdot 0{,}25=0{,}01\cdot 0{,}25=2{,}5\cdot10^{-3}$ В. Теплота за эти $4$ секунды: $$Q_1=\frac{\mathcal{E}_1^{2}}{R}t_1=\frac{(2{,}5\cdot10^{-3})^{2}}{0{,}2}\cdot 4=\frac{6{,}25\cdot10^{-6}}{0{,}2}\cdot 4=3{,}125\cdot10^{-5}\cdot 4=1{,}25\cdot10^{-4}\ \text{Дж}.$$

Шаг 3 — второй участок ($4\ldots10$ с). Скорость изменения: $$\left|\frac{\Delta B_n}{\Delta t}\right|=\frac{0{,}2-(-0{,}4)}{10-4}=\frac{0{,}6}{6}=0{,}1\ \text{Тл/с}.$$ ЭДС: $\mathcal{E}_2=0{,}01\cdot 0{,}1=1\cdot10^{-3}$ В. Теплота за $6$ секунд: $$Q_2=\frac{(10^{-3})^{2}}{0{,}2}\cdot 6=\frac{10^{-6}}{0{,}2}\cdot 6=5\cdot10^{-6}\cdot 6=3\cdot10^{-5}\ \text{Дж}.$$

Шаг 4 — складываем: $$Q=Q_1+Q_2=1{,}25\cdot10^{-4}+0{,}3\cdot10^{-4}=1{,}55\cdot10^{-4}\ \text{Дж}.$$

И всё сходится: на первом участке поле менялось в $2{,}5$ раза быстрее, поэтому ЭДС была в $2{,}5$ раза больше, а мощность — в $6{,}25$ раза больше; хотя этот участок длился в полтора раза меньше по времени, теплоты на нём выделилось примерно вчетверо больше. Итог — около $155$ микроджоулей: величина крошечная, но это нормально для рамки в слабо меняющемся поле.