ID: 00019508
На рисунке приведён график зависимости модуля индукции $B$ магнитного поля от времени $t$. В это поле перпендикулярно линиям магнитной индукции помещён проводящий прямоугольный контур сопротивлением $R = 50$ мОм. Найдите площадь контура, если за всё время в контуре выделилось $1{,}5$ мДж теплоты.
Источник: ФИПИ
Поле пронизывает контур, и пока оно меняется — меняется магнитный поток, в контуре наводится ЭДС индукции, течёт ток и выделяется тепло. Там, где поле постоянно, поток не меняется, ЭДС нет — и тепло не выделяется. Поэтому считаем тепло только на «наклонных» участках графика и приравниваем сумме $1{,}5$ мДж.
ЭДС индукции $\varepsilon=S\left|\dfrac{\Delta B}{\Delta t}\right|$, где $S$ — искомая площадь. По графику: на участке $0$–$2$ с поле растёт со скоростью $\dfrac{0{,}5}{2}=0{,}25$ Тл/с; на участке $2$–$5$ с поле постоянно (скорость $0$); на участке $5$–$9$ с поле спадает со скоростью $\dfrac{0{,}5}{4}=0{,}125$ Тл/с.
На сопротивлении $R$ за время $\Delta t$ выделяется $Q_i=\dfrac{\varepsilon_i^2}{R}\,\Delta t_i=\dfrac{S^2}{R}\left(\dfrac{\Delta B}{\Delta t}\right)_i^{2}\Delta t_i$. Суммируем по двум наклонным участкам: $Q=\dfrac{S^2}{R}\big[(0{,}25)^2\cdot 2+(0{,}125)^2\cdot 4\big]=\dfrac{S^2}{R}\,(0{,}125+0{,}0625)=\dfrac{S^2}{R}\cdot 0{,}1875$.
$S^2=\dfrac{Q\,R}{0{,}1875}=\dfrac{1{,}5\cdot 10^{-3}\cdot 0{,}05}{0{,}1875}=4\cdot 10^{-4}$ м⁴, откуда $S=0{,}02$ м².
$S = 0{,}02$ м² (200 см²)