ID: 00026426
К изолированному заряженному конденсатору с электроёмкостью C = 1 нФ и зарядом q = 12 нКл параллельно подключили незаряженный конденсатор электроёмкостью 2 C . Найдите установившееся напряжение на первом конденсаторе.
Источник: ФИПИ
Разберёмся в сюжете. Есть заряженный конденсатор: ёмкость $C=1$ нФ, на обкладках заряд $q=12$ нКл. Он изолирован — то есть ни к источнику, ни к земле не подключён, заряду деваться некуда. К нему параллельно подключают второй конденсатор, втрое большей ёмкости $2C$, причём совершенно пустой. Часть заряда перетечёт на второй конденсатор, и через мгновение установится общее напряжение. Его и надо найти.
Обоснуем модель двумя утверждениями. Первое: заряд сохраняется. Система изолирована, поэтому суммарный заряд на обкладках после соединения такой же, каким был до него, — те же $12$ нКл, просто теперь они распределены между двумя конденсаторами. Второе: при параллельном соединении обкладки соединены проводами напрямую, поэтому напряжение на обоих конденсаторах одинаково; именно это и означает слово «параллельно». А ёмкости при параллельном соединении складываются: $$C_{\text{общ}}=C+2C=3C.$$
Шаг 1 — исходное напряжение (не обязательно, но полезно для понимания): $$U_0=\frac{q}{C}=\frac{12\cdot10^{-9}}{1\cdot10^{-9}}=12\ \text{В}.$$
Шаг 2 — после соединения. Полный заряд остался равен $q$, а ёмкость батареи из двух конденсаторов стала $3C$, поэтому общее напряжение $$U=\frac{q}{C_{\text{общ}}}=\frac{q}{3C}=\frac{12\cdot10^{-9}}{3\cdot 1\cdot10^{-9}}=4\ \text{В}.$$ Так как конденсаторы соединены параллельно, это и есть напряжение на первом конденсаторе — то, о чём спрашивают.
Шаг 3 — посмотрим, как поделился заряд, чтобы убедиться в непротиворечивости. На первом конденсаторе осталось $q_1=CU=1\cdot10^{-9}\cdot 4=4$ нКл, на второй перешло $q_2=2CU=8$ нКл. Вместе $4+8=12$ нКл — ровно исходный заряд, всё сходится.
Полезное наблюдение про энергию. Сначала было $W_0=\dfrac{q^{2}}{2C}=\dfrac{(12\cdot10^{-9})^{2}}{2\cdot10^{-9}}=7{,}2\cdot10^{-8}$ Дж, а стало $W=\dfrac{q^{2}}{2\cdot 3C}=2{,}4\cdot10^{-8}$ Дж — энергия уменьшилась втрое. Это не ошибка: при перетекании заряда по соединительным проводам часть энергии всегда уходит в тепло и электромагнитное излучение. А вот заряд теряться не может — именно поэтому решать такие задачи надо через сохранение заряда, а не через «сохранение энергии».
$U=\dfrac{q}{3C}=\dfrac{12\ \text{нКл}}{3\ \text{нФ}}=4$ В (такое же напряжение установится и на втором конденсаторе).