Задание 23 ЕГЭ по физике: Две большие параллельные вертикальные пластины из диэлектрика…

№2. Задание 23

ID: 00026425

Две большие параллельные вертикальные пластины из диэлектрика расположены на расстоянии $d=5$ см друг от друга. Пластины равномерно заряжены разноимёнными зарядами. Модуль напряжённости поля между пластинами $E=6\cdot 10^{5}$ В/м. Между пластинами, на равном расстоянии от них, помещён маленький шарик с зарядом $Q=5\cdot 10^{-11}$ Кл и массой $M=3\cdot 10^{-3}$ г. После того как шарик отпускают, он начинает падать. Какую скорость будет иметь шарик, когда коснётся одной из пластин? Трением о воздух и размерами шарика пренебречь.

Источник: ФИПИ

Решение

Разберёмся в сюжете. Две вертикальные пластины заряжены разноимённо, между ними — однородное электрическое поле, направленное горизонтально, от плюса к минусу. Ровно посередине отпускают маленький заряженный шарик. Дальше на него действуют сразу две постоянные силы: вертикально вниз — тяжесть, горизонтально — электрическая. Шарик разгоняется по обоим направлениям сразу и в какой-то момент долетает до одной из пластин. Нужна его скорость в этот момент.

Обоснуем модель. Пластины большие, поле между ними однородное, поэтому электрическая сила постоянна и равна $F=QE$ . Сила тяжести $Mg$ тоже постоянна. Трение о воздух отброшено, размеры шарика не учитываем — значит, шарик просто материальная точка под действием двух постоянных взаимно перпендикулярных сил. Такое движение удобно разложить на два независимых равноускоренных: горизонтальное с ускорением $a_x=\dfrac{QE}{M}$ и вертикальное с ускорением $a_y=g$ . По горизонтали шарику нужно пройти половину зазора, ведь его отпустили точно посередине: $s_x=\frac{d}{2}=\frac{0{,}05}{2}=0{,}025\ \text{м}.$

Шаг 1 — посчитаем горизонтальное ускорение. Массу переведём в килограммы: $M=3\cdot10^{-3}$ г $=3\cdot10^{-6}$ кг. $a_x=\frac{QE}{M}=\frac{5\cdot10^{-11}\cdot 6\cdot10^{5}}{3\cdot10^{-6}}=\frac{3\cdot10^{-5}}{3\cdot10^{-6}}=10\ \text{м/с}^{2}.$ Любопытно: получилось ровно столько же, сколько $g$ . Значит, вертикально и горизонтально шарик разгоняется одинаково, и его траектория — прямая линия под углом $45^\circ$ к вертикали. Отсюда сразу следует, что за время полёта он опустится на такую же высоту, на какую сместится вбок: $h=s_x=0{,}025$ м.

Шаг 2 — время полёта до пластины. По горизонтали движение равноускоренное из состояния покоя: $s_x=\frac{a_xt^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2s_x}{a_x}}=\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}025}{10}}=\sqrt{0{,}005}\approx 0{,}071\ \text{с}.$

Шаг 3 — составляющие скорости в момент касания: $\upsilon_x=a_xt=10\cdot 0{,}071\approx 0{,}71\ \text{м/с},\qquad \upsilon_y=gt=10\cdot 0{,}071\approx 0{,}71\ \text{м/с}.$ Полная скорость — гипотенуза, ведь составляющие перпендикулярны: $\upsilon=\sqrt{\upsilon_x^{2}+\upsilon_y^{2}}=\sqrt{0{,}71^{2}+0{,}71^{2}}\approx 1\ \text{м/с}.$

Проверим этот результат вторым способом — через энергию, он короче. Обе силы совершают работу, и вся она уходит в кинетическую энергию: $A=QE\cdot s_x+Mg\cdot h=(QE+Mg)\frac{d}{2}=(3\cdot10^{-5}+3\cdot10^{-5})\cdot 0{,}025=1{,}5\cdot10^{-6}\ \text{Дж},$ $\frac{M\upsilon^{2}}{2}=A\quad\Rightarrow\quad \upsilon=\sqrt{\frac{2A}{M}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}5\cdot10^{-6}}{3\cdot10^{-6}}}=\sqrt{1}=1\ \text{м/с}.$

И всё сходится: два способа дали одинаковый ответ — $1$ м/с. Главное здесь не забыть про силу тяжести: если учесть только электрическую силу, скорость получится меньше в $\sqrt{2}$ раза, потому что половину работы над шариком совершает именно тяжесть.

Ответ