ID: 00026415
Плоский воздушный конденсатор электроёмкостью С = 10 нФ подключили к источнику постоянного напряжения U = 10 В. После полной зарядки конденсатор отсоединили от источника напряжения. Определите изменение энергии этого конденсатора, если расстояние между его обкладками увеличить на 20%.
Источник: ФИПИ
Разберёмся в сюжете по шагам. Сначала конденсатор подключили к источнику и зарядили до напряжения $U=10$ В — на нём накопился заряд. Потом провода отсоединили, и конденсатор остался «сам по себе». И только после этого пластины раздвинули на $20\ \%$. Спрашивают, как изменилась энергия конденсатора.
Ключевой момент — что именно остаётся постоянным. Пока конденсатор подключён к источнику, постоянно напряжение. Но его отсоединили: заряду теперь некуда деться, пластины изолированы, и потому при раздвигании постоянным остаётся ЗАРЯД, а напряжение меняется. Значит, из трёх формул для энергии конденсатора $W=\dfrac{CU^{2}}{2}=\dfrac{qU}{2}=\dfrac{q^{2}}{2C}$ нам нужна последняя — та, в которой стоит неизменный заряд. Ёмкость плоского воздушного конденсатора $C=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$: площадь пластин не меняется, а расстояние выросло в $1{,}2$ раза, значит, ёмкость во столько же раз уменьшилась.
Шаг 1 — начальные величины. Заряд: $$q=CU=10\cdot10^{-9}\cdot 10=10^{-7}\ \text{Кл}.$$ Начальная энергия: $$W_1=\frac{CU^{2}}{2}=\frac{10^{-8}\cdot 100}{2}=5\cdot10^{-7}\ \text{Дж}.$$
Шаг 2 — новая ёмкость. Расстояние стало $d'=1{,}2d$, поэтому $$C'=\frac{\varepsilon_0 S}{1{,}2 d}=\frac{C}{1{,}2}.$$
Шаг 3 — новая энергия. Заряд прежний, поэтому берём формулу с зарядом: $$W_2=\frac{q^{2}}{2C'}=\frac{q^{2}\cdot 1{,}2}{2C}=1{,}2\cdot\frac{q^{2}}{2C}=1{,}2\,W_1,$$ ведь $\dfrac{q^{2}}{2C}=\dfrac{(CU)^{2}}{2C}=\dfrac{CU^{2}}{2}=W_1$. Численно: $$W_2=1{,}2\cdot 5\cdot10^{-7}=6\cdot10^{-7}\ \text{Дж}.$$
Шаг 4 — изменение энергии: $$\Delta W=W_2-W_1=6\cdot10^{-7}-5\cdot10^{-7}=1\cdot10^{-7}\ \text{Дж}=0{,}1\ \text{мкДж}.$$ Энергия увеличилась.
Почему рост энергии — это не нарушение её сохранения? Пластины заряжены разноимённо и притягиваются, поэтому, раздвигая их, мы совершаем работу против сил притяжения. Именно эта работа и «дозаливается» в энергию электрического поля конденсатора — ровно $0{,}1$ микроджоуля. И типичная ловушка тут такая: если бы конденсатор оставили подключённым к источнику, постоянным было бы напряжение, энергия считалась бы по формуле $\dfrac{CU^{2}}{2}$ и при уменьшении ёмкости она бы, наоборот, УМЕНЬШИЛАСЬ. Так что первым делом всегда решай, что закреплено — заряд или напряжение.
Энергия увеличилась на $\Delta W=0{,}2\cdot\dfrac{CU^{2}}{2}=1\cdot10^{-7}$ Дж $=0{,}1$ мкДж (было $0{,}5$ мкДж, стало $0{,}6$ мкДж).