ID: 00026415
Плоский воздушный конденсатор электроёмкостью С = 10 нФ подключили к источнику постоянного напряжения U = 10 В. После полной зарядки конденсатор отсоединили от источника напряжения. Определите изменение энергии этого конденсатора, если расстояние между его обкладками увеличить на 20%.
Источник: ФИПИ
Разберёмся в сюжете по шагам. Сначала конденсатор подключили к источнику и зарядили до напряжения U=10 В — на нём накопился заряд. Потом провода отсоединили, и конденсатор остался «сам по себе». И только после этого пластины раздвинули на 20\ \%. Спрашивают, как изменилась энергия конденсатора.
Ключевой момент — что именно остаётся постоянным. Пока конденсатор подключён к источнику, постоянно напряжение. Но его отсоединили: заряду теперь некуда деться, пластины изолированы, и потому при раздвигании постоянным остаётся ЗАРЯД, а напряжение меняется. Значит, из трёх формул для энергии конденсатора W=\dfrac{CU^{2}}{2}=\dfrac{qU}{2}=\dfrac{q^{2}}{2C} нам нужна последняя — та, в которой стоит неизменный заряд. Ёмкость плоского воздушного конденсатора C=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}: площадь пластин не меняется, а расстояние выросло в 1{,}2 раза, значит, ёмкость во столько же раз уменьшилась.
Шаг 1 — начальные величины. Заряд: q=CU=10\cdot10^{-9}\cdot 10=10^{-7}\ \text{Кл}. Начальная энергия: W_1=\frac{CU^{2}}{2}=\frac{10^{-8}\cdot 100}{2}=5\cdot10^{-7}\ \text{Дж}.
Шаг 2 — новая ёмкость. Расстояние стало d'=1{,}2d, поэтому C'=\frac{\varepsilon_0 S}{1{,}2 d}=\frac{C}{1{,}2}.
Шаг 3 — новая энергия. Заряд прежний, поэтому берём формулу с зарядом: W_2=\frac{q^{2}}{2C'}=\frac{q^{2}\cdot 1{,}2}{2C}=1{,}2\cdot\frac{q^{2}}{2C}=1{,}2\,W_1, ведь \dfrac{q^{2}}{2C}=\dfrac{(CU)^{2}}{2C}=\dfrac{CU^{2}}{2}=W_1. Численно: W_2=1{,}2\cdot 5\cdot10^{-7}=6\cdot10^{-7}\ \text{Дж}.
Шаг 4 — изменение энергии: \Delta W=W_2-W_1=6\cdot10^{-7}-5\cdot10^{-7}=1\cdot10^{-7}\ \text{Дж}=0{,}1\ \text{мкДж}. Энергия увеличилась.
Почему рост энергии — это не нарушение её сохранения? Пластины заряжены разноимённо и притягиваются, поэтому, раздвигая их, мы совершаем работу против сил притяжения. Именно эта работа и «дозаливается» в энергию электрического поля конденсатора — ровно 0{,}1 микроджоуля. И типичная ловушка тут такая: если бы конденсатор оставили подключённым к источнику, постоянным было бы напряжение, энергия считалась бы по формуле \dfrac{CU^{2}}{2} и при уменьшении ёмкости она бы, наоборот, УМЕНЬШИЛАСЬ. Так что первым делом всегда решай, что закреплено — заряд или напряжение.
Энергия увеличилась на \Delta W=0{,}2\cdot\dfrac{CU^{2}}{2}=1\cdot10^{-7} Дж =0{,}1 мкДж (было 0{,}5 мкДж, стало 0{,}6 мкДж).