Электростатика… — Задание ЕГЭ по физике №00026403

Нарисуй картинку: квадрат со стороной $a=40$ см, в трёх вершинах — отрицательные заряды по модулю $q$, в четвёртой — такой же по модулю положительный. Нас интересует поле в центре квадрата. Все четыре заряда одинаковы по модулю, и центр равноудалён от всех вершин, поэтому каждый заряд создаёт в центре поле одной и той же величины — различаются только направления. Значит, вся задача сводится к грамотному сложению четырёх векторов.

Обоснуем модель. Заряды точечные, поэтому поле каждого из них считается по формуле поля точечного заряда $E_1=\dfrac{kq}{r^{2}}$, где $r$ — расстояние от заряда до интересующей точки. Складывать поля можно по принципу суперпозиции: результирующая напряжённость в точке равна векторной сумме напряжённостей, созданных каждым зарядом отдельно, причём каждый заряд «работает» так, будто других нет. Направление помним: у положительного заряда вектор напряжённости направлен от заряда, у отрицательного — к заряду.

Шаг 1 — расстояние от вершины до центра. Центр квадрата — это середина диагонали, а диагональ равна $a\sqrt{2}$, поэтому $$r=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}},\qquad r^{2}=\frac{a^{2}}{2}.$$ Квадрат расстояния — как раз то, что нужно в формулу, и корней в решении не останется.

Шаг 2 — поле одного заряда в центре: $$E_1=\frac{kq}{r^{2}}=\frac{2kq}{a^{2}}.$$

Шаг 3 — складываем векторы, разбив заряды на две диагональные пары. Первая пара — два отрицательных заряда, стоящих в противоположных вершинах (на одной диагонали). Поле каждого направлено к своему заряду, то есть вдоль этой диагонали, но в противоположные стороны, а по модулю они равны — значит, эти два поля полностью гасят друг друга. Их вклад нулевой.

Шаг 4 — вторая пара, на другой диагонали: там стоят положительный заряд и отрицательный. Поле положительного направлено от него, то есть вдоль диагонали в сторону противоположной вершины; поле отрицательного направлено к нему — то есть в ту же самую сторону. Два вектора совпали по направлению, поэтому просто складываются: $$E=2E_1=\frac{4kq}{a^{2}}.$$

Шаг 5 — считаем. Не забудь перевести сторону: $a=40$ см $=0{,}4$ м, значит $a^{2}=0{,}16$ м². Постоянная $k=9\cdot10^{9}\ \text{Н}\cdot\text{м}^{2}/\text{Кл}^{2}$: $$E=\frac{4\cdot 9\cdot10^{9}\cdot 1{,}6\cdot10^{-9}}{0{,}16}=\frac{57{,}6}{0{,}16}=360\ \text{В/м}.$$

И всё сходится: два «лишних» отрицательных заряда, стоящих напротив друг друга, взаимно уничтожили свои поля, а оставшаяся пара «плюс и минус» сработала как маленький диполь и дала удвоенное поле одного заряда — $360$ В/м, направленных по диагонали от положительного заряда к отрицательному.