ID: 00022494
Один положительный и три отрицательных электрических заряда, одинаковые по модулю $1{,}6\cdot10^{-9}$ Кл, расположены так, что образуют квадрат. Результирующая напряжённость в центре квадрата равна $360$ В/м. Найдите сторону квадрата.
Источник: Основная волна ЕГЭ 2026 (Сибирь)
Разберёмся в картинке. В вершинах квадрата сидят четыре заряда одинаковой величины: один плюс и три минуса. Каждый создаёт в центре своё электрическое поле, и нам нужно сложить эти поля как векторы.
Напряжённость поля точечного заряда на расстоянии $r$: $E=\dfrac{k\lvert q\rvert}{r^2}$.
Расстояние от вершины квадрата до его центра — это половина диагонали: $r=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$, где $a$ — сторона.
Подставим это $r$ в формулу поля одного заряда: $E_0=\dfrac{k\lvert q\rvert}{r^2}=\dfrac{k\lvert q\rvert}{\left(\dfrac{a}{\sqrt2}\right)^2}=\dfrac{2k\lvert q\rvert}{a^2}$.
Теперь про направления. Поле от «плюса» в одной вершине и поле от «минуса» в противоположной вершине смотрят в одну сторону (вдоль одной диагонали) и складываются. А два оставшихся заряда дают поля вдоль другой диагонали в противоположные стороны — они гасят друг друга.
Поэтому результат — это сумма двух складывающихся полей: $E_{\text{рез}}=2E_0=2\cdot\dfrac{2k\lvert q\rvert}{a^2}=\dfrac{4k\lvert q\rvert}{a^2}$.
Отсюда выражаем сторону: $a=\sqrt{\dfrac{4k\lvert q\rvert}{E_{\text{рез}}}}$.
Подставляем числа ($k=9\cdot10^{9}$): $a=\sqrt{\dfrac{4\cdot 9\cdot10^{9}\cdot 1{,}6\cdot10^{-9}}{360}}$.
Считаем числитель: $4\cdot 9\cdot10^{9}\cdot 1{,}6\cdot10^{-9}=57{,}6$. Делим на знаменатель: $\dfrac{57{,}6}{360}=0{,}16$.
Значит $a=\sqrt{0{,}16}=0{,}4$ м, то есть $40$ см.