Электрические Цепи… — Задание ЕГЭ по физике №00026423

Разберёмся в сюжете. Цепь простая: источник с ЭДС $\mathcal{E}=6$ В и реостат — резистор, сопротивление которого можно плавно менять. Крутим ползунок — меняется сопротивление, меняется ток, меняется и мощность, выделяющаяся на реостате. В условии сказано важное: максимум мощности достигается не на краю (не при нулевом и не при огромном сопротивлении), а при каком-то промежуточном значении, и этот максимум равен $4{,}5$ Вт. Отсюда надо найти внутреннее сопротивление источника.

Сначала поймём, почему максимум вообще существует. Ток в цепи даёт закон Ома для полной цепи: $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$, где $R$ — сопротивление реостата. Мощность на реостате $$P=I^{2}R=\frac{\mathcal{E}^{2}R}{(R+r)^{2}}.$$ Посмотри на крайние случаи. Если $R=0$ (реостат закорочен), ток максимален, но на самом реостате напряжения нет — и мощность нулевая. Если $R$ очень велико, напряжение на реостате почти равно ЭДС, но ток стремится к нулю — и мощность снова нулевая. Значит, где-то посередине есть максимум.

Шаг 1 — найдём, при каком $R$ мощность максимальна, не пользуясь производной. Поделим числитель и знаменатель на $R$: $$P=\frac{\mathcal{E}^{2}}{\dfrac{(R+r)^{2}}{R}}=\frac{\mathcal{E}^{2}}{\left(\sqrt{R}+\dfrac{r}{\sqrt{R}}\right)^{2}}.$$ Проверь это преобразование сам: $\left(\sqrt{R}+\dfrac{r}{\sqrt{R}}\right)^{2}=R+2r+\dfrac{r^{2}}{R}=\dfrac{(R+r)^{2}}{R}$. Мощность максимальна, когда знаменатель минимален. А сумма двух положительных чисел с постоянным произведением ($\sqrt{R}\cdot\dfrac{r}{\sqrt{R}}=r$ не зависит от $R$) минимальна, когда они равны: $$\sqrt{R}=\frac{r}{\sqrt{R}}\quad\Rightarrow\quad R=r.$$ То есть максимальная мощность отдаётся в нагрузку тогда, когда её сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника.

Шаг 2 — чему равен этот максимум. Подставим $R=r$ в формулу мощности: $$P_{max}=\frac{\mathcal{E}^{2}r}{(r+r)^{2}}=\frac{\mathcal{E}^{2}r}{4r^{2}}=\frac{\mathcal{E}^{2}}{4r}.$$

Шаг 3 — выражаем внутреннее сопротивление и считаем: $$r=\frac{\mathcal{E}^{2}}{4P_{max}}=\frac{6^{2}}{4\cdot 4{,}5}=\frac{36}{18}=2\ \text{Ом}.$$

Проверим себя прямым расчётом. При $r=2$ Ом и $R=r=2$ Ом ток равен $I=\dfrac{6}{2+2}=1{,}5$ А, а мощность на реостате $I^{2}R=2{,}25\cdot 2=4{,}5$ Вт — ровно то, что дано в условии. Заодно полезно заметить: в этом режиме на внутреннем сопротивлении выделяется столько же, $4{,}5$ Вт, то есть КПД источника всего $50\ \%$ — за максимальную мощность приходится платить тем, что половина энергии греет сам источник.