ID: 00026393
В электрической цепи, схема которой показана на рисунке, R_{1}=R,R_{2}=2R,r=0,5R . Когда ключ К разомкнут, на резисторе R_{1} выделяется мощность P_{1}=4,9 Вт. Какая мощность P_{2} выделяется на резисторе R_{1} при замкнутом ключе К?
Источник: ФИПИ
Сначала разберёмся со схемой. Источник с ЭДС \varepsilon и внутренним сопротивлением r стоит слева. От его вывода провод идёт вправо и разветвляется: верхняя ветвь — ключ К и последовательно с ним резистор R_2, нижняя ветвь — резистор R_1. Обе ветви сходятся на правом проводе и возвращаются к источнику. То есть R_1 и R_2 соединены параллельно, но в ветке с R_2 стоит ключ, который эту ветку может отключить.
Поясним, почему схема работает именно так. Разомкнутый ключ — это разрыв провода: тока через свою ветвь он не пропускает, значит, резистора R_2 в цепи как бы нет вовсе, и остаётся простая цепь «источник плюс R_1». Замкнутый ключ — это просто провод без сопротивления, и тогда R_1 и R_2 оказываются подключёнными к одной и той же паре точек, то есть параллельно. Считать всё будем законом Ома для полной цепи I=\dfrac{\varepsilon}{r+R_{\text{внеш}}} и формулой тепловой мощности.
Шаг 1 — ключ разомкнут. Ток идёт только через R_1=R: I_1=\frac{\varepsilon}{r+R}=\frac{\varepsilon}{0{,}5R+R}=\frac{\varepsilon}{1{,}5R}. Мощность на R_1: P_1=I_1^{2}R=\frac{\varepsilon^{2}}{2{,}25R^{2}}\cdot R=\frac{4\varepsilon^{2}}{9R}. Отсюда сразу видно комбинацию, которая нам пригодится: \dfrac{\varepsilon^{2}}{R}=\dfrac{9}{4}P_1.
Шаг 2 — ключ замкнут, считаем сопротивление внешней части. Параллельное соединение R_1=R и R_2=2R: R_{\text{внеш}}=\frac{R\cdot 2R}{R+2R}=\frac{2R}{3}. Полное сопротивление цепи: r+R_{\text{внеш}}=0{,}5R+\dfrac{2R}{3}=\dfrac{7R}{6}.
Шаг 3 — общий ток и напряжение на параллельном участке. I=\frac{\varepsilon}{7R/6}=\frac{6\varepsilon}{7R},\qquad U=I\cdot R_{\text{внеш}}=\frac{6\varepsilon}{7R}\cdot\frac{2R}{3}=\frac{4\varepsilon}{7}. Это напряжение приложено к каждому из параллельных резисторов, в том числе к R_1.
Шаг 4 — мощность на R_1 во втором случае. Удобно взять формулу через напряжение: P_2=\frac{U^{2}}{R_1}=\frac{(4\varepsilon/7)^{2}}{R}=\frac{16\varepsilon^{2}}{49R}.
Шаг 5 — избавляемся от неизвестных \varepsilon и R, поделив одну мощность на другую: \frac{P_2}{P_1}=\frac{16\varepsilon^{2}/(49R)}{4\varepsilon^{2}/(9R)}=\frac{16}{49}\cdot\frac{9}{4}=\frac{36}{49}. Значит, P_2=\frac{36}{49}\cdot 4{,}9=\frac{176{,}4}{49}=3{,}6\ \text{Вт}.
Проверим себя на здравый смысл: замкнув ключ, мы подключили вторую ветвь, общее сопротивление внешней части упало, общий ток вырос, а вот напряжение на параллельном участке уменьшилось (больше «съело» внутреннее сопротивление источника). Раз напряжение на R_1 уменьшилось, то и мощность на нём должна упасть — и она действительно упала с 4{,}9 Вт до 3{,}6 Вт.
P_2=\dfrac{36}{49}P_1=3{,}6 Вт.