ID: 00026393
В электрической цепи, схема которой показана на рисунке, $R_{1}=R,R_{2}=2R,r=0,5R$ . Когда ключ К разомкнут, на резисторе $R_{1}$ выделяется мощность $P_{1}=4,9$ Вт. Какая мощность $P_{2}$ выделяется на резисторе $R_{1}$ при замкнутом ключе К?
Источник: ФИПИ
Сначала разберёмся со схемой. Источник с ЭДС $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$ стоит слева. От его вывода провод идёт вправо и разветвляется: верхняя ветвь — ключ К и последовательно с ним резистор $R_2$, нижняя ветвь — резистор $R_1$. Обе ветви сходятся на правом проводе и возвращаются к источнику. То есть $R_1$ и $R_2$ соединены параллельно, но в ветке с $R_2$ стоит ключ, который эту ветку может отключить.
Поясним, почему схема работает именно так. Разомкнутый ключ — это разрыв провода: тока через свою ветвь он не пропускает, значит, резистора $R_2$ в цепи как бы нет вовсе, и остаётся простая цепь «источник плюс $R_1$». Замкнутый ключ — это просто провод без сопротивления, и тогда $R_1$ и $R_2$ оказываются подключёнными к одной и той же паре точек, то есть параллельно. Считать всё будем законом Ома для полной цепи $I=\dfrac{\varepsilon}{r+R_{\text{внеш}}}$ и формулой тепловой мощности.
Шаг 1 — ключ разомкнут. Ток идёт только через $R_1=R$: $$I_1=\frac{\varepsilon}{r+R}=\frac{\varepsilon}{0{,}5R+R}=\frac{\varepsilon}{1{,}5R}.$$ Мощность на $R_1$: $$P_1=I_1^{2}R=\frac{\varepsilon^{2}}{2{,}25R^{2}}\cdot R=\frac{4\varepsilon^{2}}{9R}.$$ Отсюда сразу видно комбинацию, которая нам пригодится: $\dfrac{\varepsilon^{2}}{R}=\dfrac{9}{4}P_1$.
Шаг 2 — ключ замкнут, считаем сопротивление внешней части. Параллельное соединение $R_1=R$ и $R_2=2R$: $$R_{\text{внеш}}=\frac{R\cdot 2R}{R+2R}=\frac{2R}{3}.$$ Полное сопротивление цепи: $r+R_{\text{внеш}}=0{,}5R+\dfrac{2R}{3}=\dfrac{7R}{6}$.
Шаг 3 — общий ток и напряжение на параллельном участке. $$I=\frac{\varepsilon}{7R/6}=\frac{6\varepsilon}{7R},\qquad U=I\cdot R_{\text{внеш}}=\frac{6\varepsilon}{7R}\cdot\frac{2R}{3}=\frac{4\varepsilon}{7}.$$ Это напряжение приложено к каждому из параллельных резисторов, в том числе к $R_1$.
Шаг 4 — мощность на $R_1$ во втором случае. Удобно взять формулу через напряжение: $$P_2=\frac{U^{2}}{R_1}=\frac{(4\varepsilon/7)^{2}}{R}=\frac{16\varepsilon^{2}}{49R}.$$
Шаг 5 — избавляемся от неизвестных $\varepsilon$ и $R$, поделив одну мощность на другую: $$\frac{P_2}{P_1}=\frac{16\varepsilon^{2}/(49R)}{4\varepsilon^{2}/(9R)}=\frac{16}{49}\cdot\frac{9}{4}=\frac{36}{49}.$$ Значит, $$P_2=\frac{36}{49}\cdot 4{,}9=\frac{176{,}4}{49}=3{,}6\ \text{Вт}.$$
Проверим себя на здравый смысл: замкнув ключ, мы подключили вторую ветвь, общее сопротивление внешней части упало, общий ток вырос, а вот напряжение на параллельном участке уменьшилось (больше «съело» внутреннее сопротивление источника). Раз напряжение на $R_1$ уменьшилось, то и мощность на нём должна упасть — и она действительно упала с $4{,}9$ Вт до $3{,}6$ Вт.
$P_2=\dfrac{36}{49}P_1=3{,}6$ Вт.