ID: 00026418
Во сколько раз уменьшится мощность, выделяемая на резисторе $R_{2}$, при замыкании ключа К (см. рисунок), если $R_{1} =R_{2} =R_{3} =1Ом,r=0,5Ом$?
Источник: ФИПИ
Сначала разберёмся со схемой. Источник с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r=0{,}5$ Ом стоит внизу. От его левого вывода ток идёт через резистор $R_1$ и приходит в узел. Из этого узла к правому проводу ведут две ветви: верхняя — резистор $R_3$ вместе с ключом К, и средняя — резистор $R_2$. Правый провод возвращается к источнику. Значит, $R_1$ включён последовательно со всей остальной частью, а $R_3$ (когда ключ замкнут) подключается параллельно резистору $R_2$.
Проговорим, чем считаем. Разомкнутый ключ — это разрыв: ветвь с $R_3$ не работает, и в цепи остаются только $R_1$ и $R_2$ последовательно. Замкнутый ключ — это провод без сопротивления, и тогда $R_2$ и $R_3$ подключены к одной паре точек, то есть параллельны. Ток в цепи находим по закону Ома для полной цепи $I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_{\text{внеш}}}$; мощность на нужном резисторе — по формулам $P=I^{2}R$ или $P=\dfrac{U^{2}}{R}$. Сама ЭДС нам неизвестна, но это не помеха: спрашивают отношение мощностей, и $\mathcal{E}$ сократится.
Шаг 1 — ключ разомкнут. Внешнее сопротивление: $R_1+R_2=1+1=2$ Ом, вместе с внутренним получается $2+0{,}5=2{,}5$ Ом. Ток: $$I=\frac{\mathcal{E}}{2{,}5}.$$ Через $R_2$ идёт весь этот ток, поэтому $$P_2=I^{2}R_2=\frac{\mathcal{E}^{2}}{6{,}25}\cdot 1=0{,}16\,\mathcal{E}^{2}.$$
Шаг 2 — ключ замкнут, считаем сопротивление параллельного участка: $$R_{23}=\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}=\frac{1\cdot 1}{2}=0{,}5\ \text{Ом}.$$ Полное сопротивление цепи: $r+R_1+R_{23}=0{,}5+1+0{,}5=2$ Ом. Общий ток: $$I'=\frac{\mathcal{E}}{2}.$$
Шаг 3 — мощность на $R_2$ при замкнутом ключе. Теперь через $R_2$ идёт уже не весь ток, поэтому удобнее считать через напряжение на параллельном участке: $$U_{23}=I'R_{23}=\frac{\mathcal{E}}{2}\cdot 0{,}5=\frac{\mathcal{E}}{4},$$ $$P_2'=\frac{U_{23}^{2}}{R_2}=\frac{\mathcal{E}^{2}}{16}=0{,}0625\,\mathcal{E}^{2}.$$
Шаг 4 — находим, во сколько раз мощность уменьшилась: $$\frac{P_2}{P_2'}=\frac{\mathcal{E}^{2}/6{,}25}{\mathcal{E}^{2}/16}=\frac{16}{6{,}25}=2{,}56.$$
И всё сходится по смыслу. Замкнув ключ, мы подключили $R_3$ параллельно $R_2$ — общее сопротивление цепи упало, полный ток вырос (с $0{,}4\mathcal{E}$ до $0{,}5\mathcal{E}$), но теперь этот ток делится между двумя ветвями поровну, и через сам $R_2$ идёт лишь $0{,}25\mathcal{E}$ — меньше, чем было. Ток через $R_2$ уменьшился в $1{,}6$ раза, а мощность зависит от него квадратично, поэтому она упала в $1{,}6^{2}=2{,}56$ раза.
$\dfrac{P_2}{P_2'}=\dfrac{16}{6{,}25}=2{,}56$ — мощность на резисторе $R_2$ уменьшится в $2{,}56$ раза (с $0{,}16\,\mathcal{E}^{2}$ до $0{,}0625\,\mathcal{E}^{2}$ в единицах $1$ Ом).