Задание 23 ЕГЭ по физике: Во сколько раз уменьшится мощность, выделяемая на резисторе R…
№2. Задание 23
ID: 00026418
Во сколько раз уменьшится мощность, выделяемая на резисторе R_{2}, при замыкании ключа К (см. рисунок), если R_{1} =R_{2} =R_{3} =1Ом,r=0,5Ом?
Источник: ФИПИ
Решение
Сначала разберёмся со схемой. Источник с ЭДС \mathcal{E} и внутренним сопротивлением r=0{,}5 Ом стоит внизу. От его левого вывода ток идёт через резистор R_1 и приходит в узел. Из этого узла к правому проводу ведут две ветви: верхняя — резистор R_3 вместе с ключом К, и средняя — резистор R_2. Правый провод возвращается к источнику. Значит, R_1 включён последовательно со всей остальной частью, а R_3 (когда ключ замкнут) подключается параллельно резистору R_2.
Проговорим, чем считаем. Разомкнутый ключ — это разрыв: ветвь с R_3 не работает, и в цепи остаются только R_1 и R_2 последовательно. Замкнутый ключ — это провод без сопротивления, и тогда R_2 и R_3 подключены к одной паре точек, то есть параллельны. Ток в цепи находим по закону Ома для полной цепи I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R_{\text{внеш}}}; мощность на нужном резисторе — по формулам P=I^{2}R или P=\dfrac{U^{2}}{R}. Сама ЭДС нам неизвестна, но это не помеха: спрашивают отношение мощностей, и \mathcal{E} сократится.
Шаг 1 — ключ разомкнут. Внешнее сопротивление: R_1+R_2=1+1=2 Ом, вместе с внутренним получается 2+0{,}5=2{,}5 Ом. Ток: I=\frac{\mathcal{E}}{2{,}5}. Через R_2 идёт весь этот ток, поэтому P_2=I^{2}R_2=\frac{\mathcal{E}^{2}}{6{,}25}\cdot 1=0{,}16\,\mathcal{E}^{2}.
Шаг 2 — ключ замкнут, считаем сопротивление параллельного участка: R_{23}=\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}=\frac{1\cdot 1}{2}=0{,}5\ \text{Ом}. Полное сопротивление цепи: r+R_1+R_{23}=0{,}5+1+0{,}5=2 Ом. Общий ток: I'=\frac{\mathcal{E}}{2}.
Шаг 3 — мощность на R_2 при замкнутом ключе. Теперь через R_2 идёт уже не весь ток, поэтому удобнее считать через напряжение на параллельном участке: U_{23}=I'R_{23}=\frac{\mathcal{E}}{2}\cdot 0{,}5=\frac{\mathcal{E}}{4}, P_2'=\frac{U_{23}^{2}}{R_2}=\frac{\mathcal{E}^{2}}{16}=0{,}0625\,\mathcal{E}^{2}.
Шаг 4 — находим, во сколько раз мощность уменьшилась: \frac{P_2}{P_2'}=\frac{\mathcal{E}^{2}/6{,}25}{\mathcal{E}^{2}/16}=\frac{16}{6{,}25}=2{,}56.
И всё сходится по смыслу. Замкнув ключ, мы подключили R_3 параллельно R_2 — общее сопротивление цепи упало, полный ток вырос (с 0{,}4\mathcal{E} до 0{,}5\mathcal{E}), но теперь этот ток делится между двумя ветвями поровну, и через сам R_2 идёт лишь 0{,}25\mathcal{E} — меньше, чем было. Ток через R_2 уменьшился в 1{,}6 раза, а мощность зависит от него квадратично, поэтому она упала в 1{,}6^{2}=2{,}56 раза.
Ответ
\dfrac{P_2}{P_2'}=\dfrac{16}{6{,}25}=2{,}56 — мощность на резисторе R_2 уменьшится в 2{,}56 раза (с 0{,}16\,\mathcal{E}^{2} до 0{,}0625\,\mathcal{E}^{2} в единицах 1 Ом).