ID: 00026398
Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r = 0,5 Ом и подключённого к ней резистора нагрузки с сопротивлением R . При изменении сопротивления нагрузки изменяется сила тока в цепи и мощность в нагрузке. На рисунке представлен график изменения мощности, выделяющейся на нагрузке, в зависимости от силы тока в цепи.
Используя известные физические законы, объясните, почему данный график зависимости мощности от силы тока является параболой. Чему равно ЭДС батареи?
Источник: ФИПИ
Разберёмся в сюжете. Есть батарея с ЭДС $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r=0{,}5$ Ом, к ней подключён один резистор — нагрузка $R$. Сопротивление нагрузки крутят, из-за этого меняются и ток в цепи, и мощность, которая выделяется на нагрузке. На графике показано, как мощность зависит от силы тока: это кривая, которая выходит из начала координат, поднимается до максимума $2$ Вт при токе $2$ А и снова падает до нуля при токе около $4$ А. Надо объяснить, почему эта кривая — парабола, и найти ЭДС.
Обоснуем, какими законами пользуемся. Цепь простая и замкнутая, поэтому работает закон Ома для полной цепи: $I=\dfrac{\varepsilon}{R+r}$, откуда $\varepsilon=I(R+r)=IR+Ir$. Величина $IR$ — это напряжение на нагрузке, а $Ir$ — «потеря» напряжения внутри самого источника. Мощность, выделяющаяся на нагрузке, по определению равна произведению напряжения на ней и тока: $P=U_R I=I^{2}R$. Важно, что $\varepsilon$ и $r$ — постоянные величины (батарея одна и та же), а меняется только $R$, и вместе с ним ток.
Шаг 1 — почему парабола. Выразим напряжение на нагрузке через ток: $U_R=\varepsilon-Ir$. Тогда мощность в нагрузке $$P=U_R I=(\varepsilon-Ir)I=\varepsilon I-rI^{2}.$$ Посмотри на эту формулу как на функцию переменной $I$: это квадратичная функция, у которой коэффициент при $I^{2}$ равен $-r$, то есть отрицателен, а свободного члена нет. График квадратичной функции — парабола; из-за минуса перед $I^{2}$ ветви направлены вниз, а из-за отсутствия свободного члена она проходит через начало координат. Именно это и видно на рисунке.
Шаг 2 — где нули и где вершина. Приравняем $P$ нулю: $I(\varepsilon-Ir)=0$, значит $I=0$ или $I=\dfrac{\varepsilon}{r}$. Первый нуль — это разомкнутая цепь (тока нет — и мощности нет), второй — короткое замыкание ($R=0$: ток максимальный, но напряжение на нагрузке нулевое, и мощность в ней опять нуль). Вершина параболы стоит посередине между нулями: $$I_{\text{max}}=\frac{\varepsilon}{2r}.$$
Шаг 3 — снимаем данные с графика и находим ЭДС. По графику максимум мощности $P_{\text{max}}=2$ Вт достигается при токе $I_{\text{max}}=2$ А. Из формулы вершины: $$\varepsilon=2rI_{\text{max}}=2\cdot 0{,}5\cdot 2=2\ \text{В}.$$
Шаг 4 — перепроверим другим способом. Подставим $I_{\text{max}}=\dfrac{\varepsilon}{2r}$ в выражение для мощности: $$P_{\text{max}}=\varepsilon\cdot\frac{\varepsilon}{2r}-r\cdot\frac{\varepsilon^{2}}{4r^{2}}=\frac{\varepsilon^{2}}{2r}-\frac{\varepsilon^{2}}{4r}=\frac{\varepsilon^{2}}{4r}.$$ Отсюда $\varepsilon=2\sqrt{rP_{\text{max}}}=2\sqrt{0{,}5\cdot 2}=2\sqrt{1}=2$ В — то же самое.
И третья проверка, по правому нулю графика: парабола возвращается к нулю при $I=\dfrac{\varepsilon}{r}=\dfrac{2}{0{,}5}=4$ А — на рисунке кривая действительно приходит к оси около $4$ А. Все три способа дают одно значение, значит, ЭДС батареи равна $2$ В. Заодно видно физическое содержание вершины: максимум мощности в нагрузке получается при $R=r$, ведь $I_{\text{max}}=\dfrac{\varepsilon}{2r}$ — это ток при $R=r$.
Мощность в нагрузке выражается через ток как $P=\varepsilon I-I^{2}r$ — это квадратичная функция тока с отрицательным коэффициентом при $I^{2}$, поэтому график и есть парабола с ветвями вниз, проходящая через начало координат. ЭДС батареи $\varepsilon=2\sqrt{rP_{\text{max}}}=2$ В (то же значение даёт и точка $I=4$ А, где парабола возвращается к нулю: $\varepsilon=I_{\text{к.з.}}r$).