Задание 23 ЕГЭ по физике: Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС ε и внутренним…

Разберёмся в сюжете. Есть батарея с ЭДС \varepsilon и внутренним сопротивлением r=0{,}5 Ом, к ней подключён один резистор — нагрузка R. Сопротивление нагрузки крутят, из-за этого меняются и ток в цепи, и мощность, которая выделяется на нагрузке. На графике показано, как мощность зависит от силы тока: это кривая, которая выходит из начала координат, поднимается до максимума 2 Вт при токе 2 А и снова падает до нуля при токе около 4 А. Надо объяснить, почему эта кривая — парабола, и найти ЭДС.

Обоснуем, какими законами пользуемся. Цепь простая и замкнутая, поэтому работает закон Ома для полной цепи: I=\dfrac{\varepsilon}{R+r}, откуда \varepsilon=I(R+r)=IR+Ir. Величина IR — это напряжение на нагрузке, а Ir — «потеря» напряжения внутри самого источника. Мощность, выделяющаяся на нагрузке, по определению равна произведению напряжения на ней и тока: P=U_R I=I^{2}R. Важно, что \varepsilon и r — постоянные величины (батарея одна и та же), а меняется только R, и вместе с ним ток.

Шаг 1 — почему парабола. Выразим напряжение на нагрузке через ток: U_R=\varepsilon-Ir. Тогда мощность в нагрузке P=U_R I=(\varepsilon-Ir)I=\varepsilon I-rI^{2}. Посмотри на эту формулу как на функцию переменной I: это квадратичная функция, у которой коэффициент при I^{2} равен -r, то есть отрицателен, а свободного члена нет. График квадратичной функции — парабола; из-за минуса перед I^{2} ветви направлены вниз, а из-за отсутствия свободного члена она проходит через начало координат. Именно это и видно на рисунке.

Шаг 2 — где нули и где вершина. Приравняем P нулю: I(\varepsilon-Ir)=0, значит I=0 или I=\dfrac{\varepsilon}{r}. Первый нуль — это разомкнутая цепь (тока нет — и мощности нет), второй — короткое замыкание (R=0: ток максимальный, но напряжение на нагрузке нулевое, и мощность в ней опять нуль). Вершина параболы стоит посередине между нулями: I_{\text{max}}=\frac{\varepsilon}{2r}.

Шаг 3 — снимаем данные с графика и находим ЭДС. По графику максимум мощности P_{\text{max}}=2 Вт достигается при токе I_{\text{max}}=2 А. Из формулы вершины: \varepsilon=2rI_{\text{max}}=2\cdot 0{,}5\cdot 2=2\ \text{В}.

Шаг 4 — перепроверим другим способом. Подставим I_{\text{max}}=\dfrac{\varepsilon}{2r} в выражение для мощности: P_{\text{max}}=\varepsilon\cdot\frac{\varepsilon}{2r}-r\cdot\frac{\varepsilon^{2}}{4r^{2}}=\frac{\varepsilon^{2}}{2r}-\frac{\varepsilon^{2}}{4r}=\frac{\varepsilon^{2}}{4r}. Отсюда \varepsilon=2\sqrt{rP_{\text{max}}}=2\sqrt{0{,}5\cdot 2}=2\sqrt{1}=2 В — то же самое.

И третья проверка, по правому нулю графика: парабола возвращается к нулю при I=\dfrac{\varepsilon}{r}=\dfrac{2}{0{,}5}=4 А — на рисунке кривая действительно приходит к оси около 4 А. Все три способа дают одно значение, значит, ЭДС батареи равна 2 В. Заодно видно физическое содержание вершины: максимум мощности в нагрузке получается при R=r, ведь I_{\text{max}}=\dfrac{\varepsilon}{2r} — это ток при R=r.