Электрические Цепи… — Задание ЕГЭ по физике №00026410

Разберёмся в схеме и в сюжете. Источник, ключ, резистор и конденсатор соединены в одну последовательную цепочку. Пока ключ разомкнут, конденсатор пуст. Замыкаем ключ — по цепи бежит зарядный ток: он большой в первый момент и постепенно спадает до нуля, когда конденсатор зарядится полностью. Весь этот ток проходит через резистор и греет его. Известно, сколько теплоты на нём успело выделиться, — по этому надо найти ЭДС источника.

Главная мысль такая: считать ток по времени не нужно, достаточно энергетического баланса. Проследим, куда девается энергия. Когда через источник проходит заряд $q$, источник совершает работу $A=q\mathcal{E}$. В конце процесса напряжение на конденсаторе становится равным ЭДС (тока уже нет, значит, на резисторе напряжения нет, а сопротивлением проводов и внутренним сопротивлением источника условие разрешает пренебречь), поэтому через цепь прошёл заряд $$q=C\mathcal{E},$$ и работа источника равна $$A=q\mathcal{E}=C\mathcal{E}^{2}.$$

Шаг 1 — энергия, запасённая конденсатором. Заряженный до напряжения $\mathcal{E}$ конденсатор хранит $$W=\frac{C\mathcal{E}^{2}}{2}.$$

Шаг 2 — закон сохранения энергии. Вся работа источника делится на две части: то, что осело в конденсаторе в виде энергии электрического поля, и то, что ушло в тепло на резисторе: $$A=W+Q\quad\Rightarrow\quad Q=A-W=C\mathcal{E}^{2}-\frac{C\mathcal{E}^{2}}{2}=\frac{C\mathcal{E}^{2}}{2}.$$ Получился красивый и очень полезный факт: при зарядке конденсатора через резистор ровно половина энергии источника превращается в тепло, и это не зависит ни от сопротивления, ни от того, быстро или медленно шла зарядка. Большое сопротивление — ток маленький, но зарядка долгая; маленькое — ток большой, но всё кончается быстро; тепла выходит поровну.

Шаг 3 — выражаем ЭДС: $$\mathcal{E}=\sqrt{\frac{2Q}{C}}.$$

Шаг 4 — подставляем числа, переведя всё в СИ: $C=0{,}1$ мкФ $=10^{-7}$ Ф, $Q=7{,}2$ мкДж $=7{,}2\cdot10^{-6}$ Дж. $$\mathcal{E}=\sqrt{\frac{2\cdot 7{,}2\cdot10^{-6}}{10^{-7}}}=\sqrt{\frac{1{,}44\cdot10^{-5}}{10^{-7}}}=\sqrt{144}=12\ \text{В}.$$

И всё сходится: конденсатор при этом запас ровно столько же, сколько ушло в тепло, — $\dfrac{C\mathcal{E}^{2}}{2}=\dfrac{10^{-7}\cdot 144}{2}=7{,}2\cdot10^{-6}$ Дж, а всего источник отдал $14{,}4$ мкДж. Заметь и то, что значение сопротивления $R=500$ Ом в расчёт вообще не вошло: оно влияет лишь на то, как долго идёт зарядка, а не на итоговое количество теплоты.