Термодинамика — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026419

Разберёмся в сюжете. В закрытом жёстком сосуде заперт воздух при нормальных условиях. Внутри работает электрический нагреватель: он потребляет электроэнергию и отдаёт воздуху теплоту, но не всю — его КПД всего $13\ \%$. Воздух нагревается, а так как сосуд закрыт и объём не меняется, растёт давление: за $10$ минут оно поднялось до $4\cdot10^{5}$ Па. По этому росту давления и нужно вычислить объём сосуда.

Проговорим модель. Нормальные условия — это $p_1=10^{5}$ Па и $T_1=273$ К; при них плотность воздуха и дана. Сосуд закрытый и постоянного объёма, воздух никуда не уходит, поэтому масса газа неизменна и $m=\rho V$, где $V$ — искомый объём. Раз объём и масса постоянны, процесс изохорный, и работает закон Шарля: $\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}$ — давление растёт пропорционально абсолютной температуре. Теплоту, которую воздух получил, считаем через удельную теплоёмкость: $Q=cm\Delta T$ (потерями в окружающую среду по условию пренебрегаем). А теплоту, которую отдал нагреватель, — через электрическую энергию: он потребляет мощность $P=UI$, за время $t$ потребляет энергию $UIt$, из которой на нагрев газа идёт доля $\eta$.

Шаг 1 — конечная температура. По закону Шарля $$T_2=T_1\frac{p_2}{p_1}=273\cdot\frac{4\cdot10^{5}}{10^{5}}=273\cdot 4=1092\ \text{К}.$$ Значит, нагрев составил $$\Delta T=T_2-T_1=1092-273=819\ \text{К}.$$

Шаг 2 — сколько теплоты дал нагреватель. Время: $t=10$ мин $=600$ с. $$Q=\eta UIt=0{,}13\cdot 100\cdot 2\cdot 600=0{,}13\cdot 120000=15600\ \text{Дж}.$$

Шаг 3 — та же теплота через нагрев воздуха: $$Q=cm\Delta T=c\rho V\Delta T.$$

Шаг 4 — приравниваем и выражаем объём: $$V=\frac{\eta UIt}{c\rho\,\Delta T}=\frac{15600}{716\cdot 1{,}29\cdot 819}.$$ Считаем знаменатель по частям: $716\cdot 1{,}29\approx 924$, затем $924\cdot 819\approx 7{,}6\cdot10^{5}$. Тогда $$V\approx\frac{15600}{7{,}6\cdot10^{5}}\approx 2{,}1\cdot10^{-2}\ \text{м}^{3}.$$

Переведём в привычные единицы: $2{,}1\cdot10^{-2}$ м³ — это примерно $21$ литр, то есть сосуд размером с большую канистру. Величина правдоподобная, значит, с порядками нигде не ошиблись. И обрати внимание на две типичные ловушки этой задачи: температуру обязательно берём абсолютную, в кельвинах (иначе закон Шарля просто не работает), а КПД нужен для того, чтобы не отдать газу всю электроэнергию — из $120$ кДж, потреблённых из сети, воздуху досталось лишь $15{,}6$ кДж.