ID: 00026419
В закрытом сосуде постоянного объёма находился воздух при нормальных условиях. Его нагрели электрическим нагревателем, сила тока в котором I=2 А при напряжении U=100 В. КПД нагревателя равен 13 %. Через t=10 мин. давление в сосуде повысилось до p_{_{2}}=4\cdot 10^{5} Па. Чему равен объём сосуда? В данном процессе удельная теплоёмкость воздуха c=716 Дж/(кг × К), а его плотность при нормальных условиях \mathrm{\rho}=1,29 кг/м³. Потерями тепла в окружающую среду пренебречь.
Источник: ФИПИ
Разберёмся в сюжете. В закрытом жёстком сосуде заперт воздух при нормальных условиях. Внутри работает электрический нагреватель: он потребляет электроэнергию и отдаёт воздуху теплоту, но не всю — его КПД всего 13\ \%. Воздух нагревается, а так как сосуд закрыт и объём не меняется, растёт давление: за 10 минут оно поднялось до 4\cdot10^{5} Па. По этому росту давления и нужно вычислить объём сосуда.
Проговорим модель. Нормальные условия — это p_1=10^{5} Па и T_1=273 К; при них плотность воздуха и дана. Сосуд закрытый и постоянного объёма, воздух никуда не уходит, поэтому масса газа неизменна и m=\rho V, где V — искомый объём. Раз объём и масса постоянны, процесс изохорный, и работает закон Шарля: \dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2} — давление растёт пропорционально абсолютной температуре. Теплоту, которую воздух получил, считаем через удельную теплоёмкость: Q=cm\Delta T (потерями в окружающую среду по условию пренебрегаем). А теплоту, которую отдал нагреватель, — через электрическую энергию: он потребляет мощность P=UI, за время t потребляет энергию UIt, из которой на нагрев газа идёт доля \eta.
Шаг 1 — конечная температура. По закону Шарля T_2=T_1\frac{p_2}{p_1}=273\cdot\frac{4\cdot10^{5}}{10^{5}}=273\cdot 4=1092\ \text{К}. Значит, нагрев составил \Delta T=T_2-T_1=1092-273=819\ \text{К}.
Шаг 2 — сколько теплоты дал нагреватель. Время: t=10 мин =600 с. Q=\eta UIt=0{,}13\cdot 100\cdot 2\cdot 600=0{,}13\cdot 120000=15600\ \text{Дж}.
Шаг 3 — та же теплота через нагрев воздуха: Q=cm\Delta T=c\rho V\Delta T.
Шаг 4 — приравниваем и выражаем объём: V=\frac{\eta UIt}{c\rho\,\Delta T}=\frac{15600}{716\cdot 1{,}29\cdot 819}. Считаем знаменатель по частям: 716\cdot 1{,}29\approx 924, затем 924\cdot 819\approx 7{,}6\cdot10^{5}. Тогда V\approx\frac{15600}{7{,}6\cdot10^{5}}\approx 2{,}1\cdot10^{-2}\ \text{м}^{3}.
Переведём в привычные единицы: 2{,}1\cdot10^{-2} м³ — это примерно 21 литр, то есть сосуд размером с большую канистру. Величина правдоподобная, значит, с порядками нигде не ошиблись. И обрати внимание на две типичные ловушки этой задачи: температуру обязательно берём абсолютную, в кельвинах (иначе закон Шарля просто не работает), а КПД нужен для того, чтобы не отдать газу всю электроэнергию — из 120 кДж, потреблённых из сети, воздуху досталось лишь 15{,}6 кДж.
V=\dfrac{\eta UIt}{c\rho\,\Delta T}\approx 2{,}1\cdot10^{-2}\ \text{м}^{3}, то есть примерно 21 литр.