ID: 00026382
Человек ростом h _{0} = 1,6 м, стоя на Земле, бросает мяч из-за головы и хочет перебросить его через забор высотой h = 4,8 м. Определите модуль скорости, с которой необходимо бросить мяч, чтобы он перелетел через забор, коснувшись его в верхней точке своей траектории, если человек находится на расстоянии S = 6,4 м от забора.
Источник: ФИПИ
Нарисуй картинку в голове: человек бросает мяч из-за головы, то есть точка броска находится на высоте его роста, h_0=1{,}6 м. Мяч летит по параболе и в самой верхней точке своей траектории только-только чиркает по верху забора высотой h=4{,}8 м, который стоит в S=6{,}4 м от человека. Значит, вершина параболы приходится ровно на забор — и это главная зацепка.
Шаг 1 — что даёт «верхняя точка». В верхней точке траектории вертикальная скорость равна нулю: мяч перестал подниматься и ещё не начал падать. Горизонтальная скорость при этом никуда не девается — по горизонтали на мяч ничего не действует (сопротивление воздуха не учитываем), поэтому она всё время одна и та же.
Шаг 2 — вертикаль. По вертикали мяч поднялся не на 4{,}8 м, а только на разницу высот: \Delta h=h-h_0=4{,}8-1{,}6=3{,}2 м. Для подъёма до нулевой скорости работает формула равноускоренного движения без времени: v_{0y}^2=2g\Delta h. Отсюда v_{0y}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 3{,}2}=\sqrt{64}=8 м/с.
Шаг 3 — время подъёма. Вертикальная скорость гасится ускорением свободного падения: t=\dfrac{v_{0y}}{g}=\dfrac{8}{10}=0{,}8 с. Именно за это время мяч и должен добраться до забора.
Шаг 4 — горизонталь. По горизонтали движение равномерное: S=v_{0x}t, значит v_{0x}=\dfrac{S}{t}=\dfrac{6{,}4}{0{,}8}=8 м/с.
Шаг 5 — собираем скорость броска. Начальная скорость — это вектор, у которого мы нашли обе проекции, поэтому её модуль берём по теореме Пифагора: v_0=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}=\sqrt{8^2+8^2}=\sqrt{128}=8\sqrt2\approx 11{,}3 м/с. Заодно видно, что проекции равны, то есть бросать надо ровно под 45^\circ к горизонту.
Почему модель именно такая. Мяч — материальная точка в однородном поле тяжести: сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому единственная сила — сила тяжести, направленная вниз. По второму закону Ньютона ускорение постоянно и равно g, и движение распадается на два независимых: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали. Именно эта независимость позволяет считать вертикаль и горизонталь по отдельности, а потом сшивать их общим временем t.