Динамика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00026378

Разберём установку по рисунку. На вертикальной оси закреплена горизонтальная штанга, и по ней могут свободно скользить два груза: $m_1=0{,}2$ кг слева от оси и $m_2=0{,}3$ кг справа. Между ними натянута нить длиной $l=20$ см, закреплённая на оси так, что натяжение слева и справа от оси одинаково. Штангу раскручивают, и грузы едут по окружностям вокруг оси.

Что держит грузы на окружностях. Штанга гладкая, поэтому вдоль себя она никакой силы не даёт: она лишь заставляет грузы двигаться вместе с ней, но «внутрь» не тянет. Значит, единственная сила, направленная к оси, — это натяжение нити. Поэтому для каждого груза второй закон Ньютона в проекции на направление к оси выглядит так: $T=m\omega^2 r$, где $r$ — его расстояние до оси. Ключевой момент: натяжение $T$ у обоих грузов ОДНО И ТО ЖЕ (это сказано в условии), а вот расстояния $r_1$ и $r_2$ разные — грузы сами «расползаются» по штанге так, чтобы условие выполнилось.

Шаг 1 — два уравнения. Для грузов: $T=m_1\omega^2 r_1$ и $T=m_2\omega^2 r_2$. Плюс геометрия: грузы по разные стороны оси, а нить между ними имеет длину $l$, поэтому $r_1+r_2=l$.

Шаг 2 — где встанут грузы. Приравняв правые части, получаем $m_1 r_1=m_2 r_2$: тяжёлый груз садится ближе к оси, лёгкий — дальше. Подставим $r_2=l-r_1$: $m_1 r_1=m_2(l-r_1)$, откуда $$r_1=\dfrac{m_2\,l}{m_1+m_2}=\dfrac{0{,}3\cdot 0{,}2}{0{,}2+0{,}3}=\dfrac{0{,}06}{0{,}5}=0{,}12\ \text{м},$$ и тогда $r_2=0{,}2-0{,}12=0{,}08$ м.

Шаг 3 — угловая скорость. Частота $600$ оборотов в минуту — это $\nu=\dfrac{600}{60}=10$ оборотов в секунду. Тогда $$\omega=2\pi\nu=2\pi\cdot 10=20\pi\approx 62{,}8\ \text{рад/с},\qquad \omega^2=400\pi^2\approx 3948\ \text{с}^{-2}.$$

Шаг 4 — считаем натяжение (возьмём первый груз): $$T=m_1\omega^2 r_1=0{,}2\cdot 3948\cdot 0{,}12=0{,}024\cdot 3948\approx 94{,}7\ \text{Н}.$$

Проверим по второму грузу: $T=m_2\omega^2 r_2=0{,}3\cdot 3948\cdot 0{,}08=0{,}024\cdot 3948\approx 94{,}7$ Н. Совпало — значит, положения грузов найдены верно. Величина внушительная: почти $95$ Н при массах в доли килограмма, но при $10$ оборотах в секунду это нормально — центростремительное ускорение здесь порядка $500$ м/с², то есть в пятьдесят раз больше $g$.