ID: 00026378
На вертикальной оси укреплена гладкая горизонтальная штанга, по которой могут перемещаться два груза массами m _{1} = 200 г и m _{2} = 300 г, связанные нерастяжимой невесомой нитью длиной l = 20 см. Нить закрепили на оси так, что грузы располагаются по разные стороны от оси и натяжение нити с обеих сторон от оси при вращении штанги одинаково (см. рисунок). Определите модуль силы натяжения Т нити, соединяющей грузы, при вращении штанги с частотой 600 об/мин.
Источник: ФИПИ
Разберём установку по рисунку. На вертикальной оси закреплена горизонтальная штанга, и по ней могут свободно скользить два груза: m_1=0{,}2 кг слева от оси и m_2=0{,}3 кг справа. Между ними натянута нить длиной l=20 см, закреплённая на оси так, что натяжение слева и справа от оси одинаково. Штангу раскручивают, и грузы едут по окружностям вокруг оси.
Что держит грузы на окружностях. Штанга гладкая, поэтому вдоль себя она никакой силы не даёт: она лишь заставляет грузы двигаться вместе с ней, но «внутрь» не тянет. Значит, единственная сила, направленная к оси, — это натяжение нити. Поэтому для каждого груза второй закон Ньютона в проекции на направление к оси выглядит так: T=m\omega^2 r, где r — его расстояние до оси. Ключевой момент: натяжение T у обоих грузов ОДНО И ТО ЖЕ (это сказано в условии), а вот расстояния r_1 и r_2 разные — грузы сами «расползаются» по штанге так, чтобы условие выполнилось.
Шаг 1 — два уравнения. Для грузов: T=m_1\omega^2 r_1 и T=m_2\omega^2 r_2. Плюс геометрия: грузы по разные стороны оси, а нить между ними имеет длину l, поэтому r_1+r_2=l.
Шаг 2 — где встанут грузы. Приравняв правые части, получаем m_1 r_1=m_2 r_2: тяжёлый груз садится ближе к оси, лёгкий — дальше. Подставим r_2=l-r_1: m_1 r_1=m_2(l-r_1), откуда r_1=\dfrac{m_2\,l}{m_1+m_2}=\dfrac{0{,}3\cdot 0{,}2}{0{,}2+0{,}3}=\dfrac{0{,}06}{0{,}5}=0{,}12\ \text{м}, и тогда r_2=0{,}2-0{,}12=0{,}08 м.
Шаг 3 — угловая скорость. Частота 600 оборотов в минуту — это \nu=\dfrac{600}{60}=10 оборотов в секунду. Тогда \omega=2\pi\nu=2\pi\cdot 10=20\pi\approx 62{,}8\ \text{рад/с},\qquad \omega^2=400\pi^2\approx 3948\ \text{с}^{-2}.
Шаг 4 — считаем натяжение (возьмём первый груз): T=m_1\omega^2 r_1=0{,}2\cdot 3948\cdot 0{,}12=0{,}024\cdot 3948\approx 94{,}7\ \text{Н}.
Проверим по второму грузу: T=m_2\omega^2 r_2=0{,}3\cdot 3948\cdot 0{,}08=0{,}024\cdot 3948\approx 94{,}7 Н. Совпало — значит, положения грузов найдены верно. Величина внушительная: почти 95 Н при массах в доли килограмма, но при 10 оборотах в секунду это нормально — центростремительное ускорение здесь порядка 500 м/с², то есть в пятьдесят раз больше g.