Задание 22 ЕГЭ по физике: Если во время полёта между двумя городами дует попутный ветер,…

О чём речь. Между двумя городами одно и то же расстояние S. В первом случае ветер попутный — он просто подгоняет самолёт, и перелёт занимает 6 ч. Во втором случае ветер такой же по величине, но дует поперёк линии полёта, и перелёт занимает уже 7{,}5 ч. Скорость самолёта относительно воздуха всё время одна и та же: v=328 км/ч.

Главная физика задачи — сложение скоростей. Самолёт «плывёт» в воздухе, а сам воздух движется относительно земли. Скорость относительно земли равна векторной сумме: \vec v_{\text{зем}}=\vec v+\vec u, где \vec u — скорость ветра. При попутном ветре векторы направлены одинаково и складываются как числа. А вот при боковом ветре так нельзя: если бы пилот держал нос строго на цель, ветер сдувал бы самолёт в сторону от линии полёта.

Что делает пилот при боковом ветре. Он разворачивает нос самолёта немного НАВСТРЕЧУ ветру, чтобы поперечная составляющая его собственной скорости погасила снос. Тогда вектор \vec v длиной v раскладывается на две перпендикулярные части: одна, равная u, уходит на борьбу с ветром, а вдоль линии полёта остаётся \sqrt{v^2-u^2} (теорема Пифагора: v^2=u^2+(\text{вдоль})^2). Именно этой скоростью самолёт и продвигается к цели.

Шаг 1 — записываем два выражения для одного и того же расстояния: S=(v+u)\,t_1,\qquad S=\sqrt{v^2-u^2}\;t_2.

Шаг 2 — приравниваем: (v+u)t_1=\sqrt{v^2-u^2}\,t_2. Заметим, что v^2-u^2=(v-u)(v+u), поэтому справа стоит \sqrt{(v-u)(v+u)}.

Шаг 3 — возводим в квадрат: (v+u)^2 t_1^2=(v-u)(v+u)\,t_2^2. Множитель (v+u) не равен нулю, на него можно сократить: (v+u)\,t_1^2=(v-u)\,t_2^2.

Шаг 4 — подставляем времена: t_1^2=36 ч², t_2^2=56{,}25 ч². Тогда 36(v+u)=56{,}25(v-u), то есть 36v+36u=56{,}25v-56{,}25u и 92{,}25\,u=20{,}25\,v.

Шаг 5 — выражаем скорость ветра: u=\dfrac{20{,}25}{92{,}25}\,v=\dfrac{9}{41}\,v=\dfrac{9\cdot 328}{41}=9\cdot 8=72\ \text{км/ч}. (Дробь удобно сократить на 2{,}25, а 328 как раз делится на 41.)

Проверим. При попутном ветре скорость относительно земли 328+72=400 км/ч, значит S=400\cdot 6=2400 км. При боковом: \sqrt{328^2-72^2}=\sqrt{107\,584-5184}=\sqrt{102\,400}=320 км/ч, и время \dfrac{2400}{320}=7{,}5 ч — точно как в условии. Сходится.