ID: 00026377
Если во время полёта между двумя городами дует попутный ветер, то самолёт затрачивает на перелёт между ними 6 ч. Если дует такой же боковой ветер перпендикулярно линии полёта, то самолёт затрачивает на перелёт 7,5 ч. Найдите скорость ветра, если скорость самолёта относительно воздуха постоянна и равна 328 км/ч.
Источник: ФИПИ
О чём речь. Между двумя городами одно и то же расстояние $S$. В первом случае ветер попутный — он просто подгоняет самолёт, и перелёт занимает $6$ ч. Во втором случае ветер такой же по величине, но дует поперёк линии полёта, и перелёт занимает уже $7{,}5$ ч. Скорость самолёта относительно воздуха всё время одна и та же: $v=328$ км/ч.
Главная физика задачи — сложение скоростей. Самолёт «плывёт» в воздухе, а сам воздух движется относительно земли. Скорость относительно земли равна векторной сумме: $\vec v_{\text{зем}}=\vec v+\vec u$, где $\vec u$ — скорость ветра. При попутном ветре векторы направлены одинаково и складываются как числа. А вот при боковом ветре так нельзя: если бы пилот держал нос строго на цель, ветер сдувал бы самолёт в сторону от линии полёта.
Что делает пилот при боковом ветре. Он разворачивает нос самолёта немного НАВСТРЕЧУ ветру, чтобы поперечная составляющая его собственной скорости погасила снос. Тогда вектор $\vec v$ длиной $v$ раскладывается на две перпендикулярные части: одна, равная $u$, уходит на борьбу с ветром, а вдоль линии полёта остаётся $\sqrt{v^2-u^2}$ (теорема Пифагора: $v^2=u^2+(\text{вдоль})^2$). Именно этой скоростью самолёт и продвигается к цели.
Шаг 1 — записываем два выражения для одного и того же расстояния: $$S=(v+u)\,t_1,\qquad S=\sqrt{v^2-u^2}\;t_2.$$
Шаг 2 — приравниваем: $(v+u)t_1=\sqrt{v^2-u^2}\,t_2$. Заметим, что $v^2-u^2=(v-u)(v+u)$, поэтому справа стоит $\sqrt{(v-u)(v+u)}$.
Шаг 3 — возводим в квадрат: $(v+u)^2 t_1^2=(v-u)(v+u)\,t_2^2$. Множитель $(v+u)$ не равен нулю, на него можно сократить: $$(v+u)\,t_1^2=(v-u)\,t_2^2.$$
Шаг 4 — подставляем времена: $t_1^2=36$ ч², $t_2^2=56{,}25$ ч². Тогда $36(v+u)=56{,}25(v-u)$, то есть $36v+36u=56{,}25v-56{,}25u$ и $92{,}25\,u=20{,}25\,v$.
Шаг 5 — выражаем скорость ветра: $$u=\dfrac{20{,}25}{92{,}25}\,v=\dfrac{9}{41}\,v=\dfrac{9\cdot 328}{41}=9\cdot 8=72\ \text{км/ч}.$$ (Дробь удобно сократить на $2{,}25$, а $328$ как раз делится на $41$.)
Проверим. При попутном ветре скорость относительно земли $328+72=400$ км/ч, значит $S=400\cdot 6=2400$ км. При боковом: $\sqrt{328^2-72^2}=\sqrt{107\,584-5184}=\sqrt{102\,400}=320$ км/ч, и время $\dfrac{2400}{320}=7{,}5$ ч — точно как в условии. Сходится.