Колебания — Задание 22 ЕГЭ по физике №00017623

Дано

$T_1 = 1$ с — период математического маятника;
$T_2 = T_1/2 = 0{,}5$ с — период пружинного маятника;
$g = 10$ м/с².
Найти: $x_0$ — растяжение пружины в положении равновесия.

Идея

Период математического маятника здесь нужен только для того, чтобы узнать период пружинного: $T_2 = T_1/2 = 0{,}5$ с. Дальше работаем с одной пружиной и грузом. Хитрость такая: и период колебаний, и статическое растяжение пружины зависят от одного и того же отношения $m/k$ (масса груза к жёсткости пружины). Поэтому можно связать растяжение прямо с периодом, не зная ни массы, ни жёсткости по отдельности.

Период пружинного маятника:

$$T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}.$$

Когда груз просто висит и не колеблется, его держит сила упругости пружины, равная весу (груз в равновесии):

$$k x_0 = m g \;\Rightarrow\; \dfrac{m}{k} = \dfrac{x_0}{g}.$$

Подставим это отношение в формулу периода:

$$T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{x_0}{g}}.$$

Выразим растяжение:

$$x_0 = g\left(\dfrac{T_2}{2\pi}\right)^2 = \dfrac{g\,T_2^{\,2}}{4\pi^2}.$$

Подставляем числа:

$$x_0 = \dfrac{10 \cdot (0{,}5)^2}{4\pi^2} = \dfrac{10 \cdot 0{,}25}{39{,}48} \approx 0{,}063\ \text{м}.$$