ID: 00017623
Школьник, изучая механические колебания, изготовил два маятника — математический с периодом малых колебаний $T_1 = 1$ с и пружинный с периодом колебаний $T_2 = T_1/2$. Второй маятник был подвешен в вертикальном положении за свободный конец пружины. Найдите деформацию $x_0$ пружины для второго маятника в состоянии равновесия.
Источник: ФИПИ
$T_1 = 1$ с — период математического маятника;
$T_2 = T_1/2 = 0{,}5$ с — период пружинного маятника;
$g = 10$ м/с².
Найти: $x_0$ — растяжение пружины в положении равновесия.
Период математического маятника здесь нужен только для того, чтобы узнать период пружинного: $T_2 = T_1/2 = 0{,}5$ с. Дальше работаем с одной пружиной и грузом. Хитрость такая: и период колебаний, и статическое растяжение пружины зависят от одного и того же отношения $m/k$ (масса груза к жёсткости пружины). Поэтому можно связать растяжение прямо с периодом, не зная ни массы, ни жёсткости по отдельности.
Период пружинного маятника:
$$T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}.$$
Когда груз просто висит и не колеблется, его держит сила упругости пружины, равная весу (груз в равновесии):
$$k x_0 = m g \;\Rightarrow\; \dfrac{m}{k} = \dfrac{x_0}{g}.$$
Подставим это отношение в формулу периода:
$$T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{x_0}{g}}.$$
Выразим растяжение:
$$x_0 = g\left(\dfrac{T_2}{2\pi}\right)^2 = \dfrac{g\,T_2^{\,2}}{4\pi^2}.$$
Подставляем числа:
$$x_0 = \dfrac{10 \cdot (0{,}5)^2}{4\pi^2} = \dfrac{10 \cdot 0{,}25}{39{,}48} \approx 0{,}063\ \text{м}.$$